Упр.5.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство: $$\frac{x^2+3x}{x-5}? \frac{28}{x-5}$$.
2. Решите неравенство: $$\frac{1}{x}<1$$.
3. Решите неравенство: $$\frac{x}{x+3}>\frac{1}{2}$$.
4. Решите неравенство: $$\frac{1}{x+2}<\frac{3}{x-3}$$.
5. Решите неравенство: $$\frac{2}{x}-\frac{1}{x-1}>1$$.
6. Решите неравенство: $$\frac{x-3}{x+3}?\frac{2x-5}{4x-3}$$.

1) $$\frac{x^2+3x}{x-5}\ge \frac{28}{x-5}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{x^2+3x-28}{x-5}\ge 0$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2+3x-28=(x+7)(x-4)$$

Тогда

$$\frac{(x+7)(x-4)}{x-5}\ge 0$$

Критические точки: $$x=-7,\;4,\;5$$. По знакам получаем:

$$x\in[-7;4]\cup(5;+\infty)$$

2) $$\frac1x<1$$

Перенесём единицу влево:

$$\frac1x-1<0$$

$$\frac{1-x}{x}<0$$

$$\frac{x(x-1)}{x}>0$$

Учитывая область определения $$x\ne 0$$, получаем:

$$x(x-1)>0$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$

3) $$\frac{x}{x+3}>\frac12$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{x}{x+3}-\frac12>0$$

$$\frac{2x-(x+3)}{2(x+3)}>0$$

$$\frac{x-3}{x+3}>0$$

Тогда

$$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$

4) $$\frac1{x+2}<\frac3{x-3}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac3{x-3}-\frac1{x+2}>0$$

$$\frac{3(x+2)-(x-3)}{(x+2)(x-3)}>0$$

$$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}>0$$

$$\frac{x+4{,}5}{(x+2)(x-3)}>0$$

По знакам получаем:

$$x\in(-4{,}5;-2)\cup(3;+\infty)$$

5) $$\frac2x-\frac1{x-1}>1$$

Перенесём единицу влево:

$$1-\frac2x+\frac1{x-1}<0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(x-1)-2(x-1)+x}{x(x-1)}<0$$

$$\frac{x^2-2x+2}{x(x-1)}<0$$

Числитель всегда положителен, так как

$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4<0$$

и старший коэффициент положителен. Значит, нужно решить

$$x(x-1)<0$$

Отсюда

$$x\in(0;1)$$

6) $$\frac{x-3}{x+3}\le \frac{2x-5}{4x-3}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{x-3}{x+3}-\frac{2x-5}{4x-3}\le 0$$

$$\frac{(x-3)(4x-3)-(x+3)(2x-5)}{(x+3)(4x-3)}\le 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(x-3)(4x-3)=4x^2-15x+9$$

$$(x+3)(2x-5)=2x^2+x-15$$

Тогда

$$\frac{2x^2-16x+24}{(x+3)(4x-3)}\le 0$$

$$\frac{2(x-2)(x-6)}{(x+3)(4x-3)}\le 0$$

Так как $$4x-3=4\left(x-\frac34\right)$$, получаем

$$\frac{(x-2)(x-6)}{(x+3)\left(x-\frac34\right)}\le 0$$

Критические точки: $$x=-3,\;\frac34,\;2,\;6$$. По знакам:

$$x\in(-3;\tfrac34)\cup[2;6]$$

Ответ:

1) $$[-7;4]\cup(5;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$; 3) $$(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$; 4) $$(-4{,}5;-2)\cup(3;+\infty)$$; 5) $$(0;1)$$; 6) $$(-3;\tfrac34)\cup[2;6]$$.