Упр.5.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x^2+3x)/(x-5)?28/(x-5); 3) x/(x+3) > 1/2; 5) 2/x-1/(x-1) > 1;
2) 1/x < 1; 4) 1/(x+2) < 3/(x-3); 6) (x-3)/(x+3)?(2x-5)/(4x-3).

1. $$\frac{x^2+3x}{x-5}\ge \frac{28}{x-5}$$
   $$\frac{x^2+3x-28}{x-5}\ge 0$$
   $$x^2+3x-28=(x+7)(x-4)$$
   $$\frac{(x+7)(x-4)}{x-5}\ge 0$$
   Критические точки: $$x=-7,\;4,\;5.$$
   По знакам получаем:
   $$x\in[-7;4]\cup(5;+\infty).$$
2. $$\frac1x<1$$ $$\frac1x-1<0$$ $$\frac{1-x}{x}<0$$ $$\frac{x(x-1)}{x^2}<0$$ При $$x\ne 0$$ знак дроби определяется числителем и знаменателем: $$x(x-1)>0.$$
   Тогда
   $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty).$$
3. $$\frac{x}{x+3}>\frac12$$
   $$\frac{x}{x+3}-\frac12>0$$
   $$\frac{2x-(x+3)}{2(x+3)}>0$$
   $$\frac{x-3}{x+3}>0$$
   Критические точки: $$x=-3,\;3.$$
   Тогда
   $$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty).$$
4. $$\frac1{x+2}<\frac3{x-3}$$ $$\frac1{x+2}-\frac3{x-3}<0$$ $$\frac{x-3-3(x+2)}{(x+2)(x-3)}<0$$ $$\frac{-2x-9}{(x+2)(x-3)}<0$$ $$\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}>0$$
   $$\frac{2\left(x+\frac92\right)}{(x+2)(x-3)}>0$$
   Критические точки: $$x=-\frac92,\;-2,\;3.$$
   Тогда
   $$x\in\left(-\frac92;-2\right)\cup(3;+\infty).$$
5. $$\frac2x-\frac1{x-1}>1$$
   $$\frac2x-\frac1{x-1}-1>0$$
   $$\frac{2(x-1)-x(x-1)-x}{x(x-1)}>0$$
   $$\frac{-x^2+2x-2}{x(x-1)}>0$$
   $$\frac{x^2-2x+2}{x(x-1)}<0$$ Так как $$x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0,$$
   то нужно, чтобы
   $$x(x-1)<0.$$ Следовательно, $$x\in(0;1).$$
6. $$\frac{x-3}{x+3}\le \frac{2x-5}{4x-3}$$
   $$\frac{(x-3)(4x-3)-(x+3)(2x-5)}{(x+3)(4x-3)}\le 0$$
   $$\frac{4x^2-15x+9-(2x^2+ x-15)}{(x+3)(4x-3)}\le 0$$
   $$\frac{2x^2-16x+24}{(x+3)(4x-3)}\le 0$$
   $$\frac{2(x-2)(x-6)}{(x+3)(4x-3)}\le 0$$
   Критические точки: $$x=-3,\;\frac34,\;2,\;6.$$
   По знакам получаем:
   $$x\in(-3;\tfrac34)\cup[2;6].$$

Ответ

1) $$x\in[-7;4]\cup(5;+\infty)$$;
2) $$x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$;
4) $$x\in\left(-\frac92;-2\right)\cup(3;+\infty)$$;
5) $$x\in(0;1)$$;
6) $$x\in(-3;\tfrac34)\cup[2;6]$$.