Упр.5.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9) > 0; 4) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9)?0; 7) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8) < 0; 2) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9)?0; 5) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8) > 0; 8) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8)?0;
3) (x^2+x-20)/(x^2-6x+9) < 0; 6) (x^2-2x+1)/(x^2+2x-8)?0;

Подробный ответ

$$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}>0$$
Разложим на множители:
$$x^2+x-20=(x+5)(x-4), \qquad x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
Знаменатель обращается в нуль при $$x=3$$, значит $$x\ne 3$$. Так как $$\left(x-3\right)^2>0$$ при $$x\ne 3$$, знак дроби определяется числителем:
$$ (x+5)(x-4)>0.$$
Отсюда:
$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>4.$$
$$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}\ge 0$$
Аналогично:
$$ (x+5)(x-4)\ge 0,\qquad x\ne 3.$$
Получаем:
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
Точка $$x=3$$ не входит в найденные промежутки, поэтому ответ не меняется.
$$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}<0$$
Имеем:
$$ (x+5)(x-4)<0,\qquad x\ne 3.$$
Тогда
$$-5Исключаем точку $$x=3$$, где знаменатель равен нулю:
$$x\in(-5;3)\cup(3;4).$$
$$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}\le 0$$
Получаем:
$$ (x+5)(x-4)\le 0,\qquad x\ne 3.$$
Следовательно,
$$-5\le x\le 4,$$
но $$x=3$$ исключается:
$$x\in[-5;3)\cup(3;4].$$
$$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}>0$$
Разложим на множители:
$$x^2-2x+1=(x-1)^2,\qquad x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$
Числитель $$ (x-1)^2\ge 0 $$ и равен нулю только при $$x=1$$. Для строгого неравенства нужно, чтобы дробь была положительной, значит числитель должен быть положительным, а знаменатель — положительным:
$$ (x+4)(x-2)>0.$$
Отсюда
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Точка $$x=1$$ не входит в найденные промежутки.
$$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}\ge 0$$
Имеем:
$$ (x-1)^2\ge 0,\qquad (x+4)(x-2)\ne 0.$$
Дробь неотрицательна, когда знаменатель положителен, либо когда числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю:
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x=1 \quad \text{или} \quad x>2.$$
$$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}<0$$
Так как числитель $$ (x-1)^2\ge 0 $$, дробь может быть отрицательной только при отрицательном знаменателе:
$$ (x+4)(x-2)<0.$$
Отсюда
$$-4Точка $$x=1$$ входит в этот промежуток, но при ней дробь равна нулю, поэтому её нужно исключить:
$$x\in(-4;1)\cup(1;2).$$
$$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}\le 0$$
Аналогично:
$$ (x+4)(x-2)<0,\qquad x\ne 1.$$
Получаем
$$-4и исключаем точку $$x=1$$:
$$x\in(-4;1)\cup(1;2).$$