Упр.5.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}>0$$
- $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}?0$$
- $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}<0$$
- $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}?0$$
- $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}>0$$
- $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}?0$$
- $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}<0$$
- $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}?0$$
1) $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}>0$$
Разложим на множители:
$$x^2+x-20=(x+5)(x-4),$$
$$x^2-6x+9=(x-3)^2.$$
Тогда
$$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}>0.$$
Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3,$$ знак дроби определяется числителем. Получаем:
$$(x+5)(x-4)>0.$$
Отсюда
$$x<-5 \quad \text{или} \quad x>4.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;-5)\cup(4;+\infty).$$
2) $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}\ge 0$$
Имеем
$$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}\ge 0.$$
Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3,$$ решаем неравенство
$$(x+5)(x-4)\ge 0.$$
Тогда
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;-5]\cup[4;+\infty).$$
3) $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}<0$$
Получаем
$$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}<0.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne 3,$$ нужно, чтобы
$$(x+5)(x-4)<0.$$
Следовательно,
$$-5<x<4,$$
но $$x\ne 3.$$
Значит,
$$x\in(-5;3)\cup(3;4).$$
Ответ: $$x\in(-5;3)\cup(3;4).$$
4) $$\frac{x^2+x-20}{x^2-6x+9}\le 0$$
Имеем
$$\frac{(x+5)(x-4)}{(x-3)^2}\le 0.$$
Так как знаменатель положителен при $$x\ne 3,$$ решаем
$$(x+5)(x-4)\le 0.$$
Отсюда
$$-5\le x\le 4,$$
но $$x\ne 3.$$
Ответ: $$x\in[-5;3)\cup(3;4].$$
5) $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}>0$$
Разложим на множители:
$$x^2-2x+1=(x-1)^2,$$
$$x^2+2x-8=(x+4)(x-2).$$
Тогда
$$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}>0.$$
Числитель неотрицателен и равен нулю только при $$x=1,$$ поэтому дробь положительна, когда знаменатель положителен и $$x\ne 1.$$
Решаем
$$(x+4)(x-2)>0.$$
Получаем
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;-4)\cup(2;+\infty).$$
6) $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}\ge 0$$
Имеем
$$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}\ge 0.$$
Так как $$(x-1)^2\ge 0,$$ то дробь неотрицательна при положительном знаменателе, а также при равенстве числителя нулю, если знаменатель не равен нулю.
Знаменатель положителен при
$$x<-4 \quad \text{или} \quad x>2.$$
Кроме того, при $$x=1$$ дробь равна нулю, и это значение подходит.
Ответ: $$x\in(-\infty;-4)\cup\{1\}\cup(2;+\infty).$$
7) $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}<0$$
Имеем
$$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}<0.$$
Так как числитель неотрицателен, дробь отрицательна только при отрицательном знаменателе:
$$(x+4)(x-2)<0.$$
Отсюда
$$-4<x<2.$$
Но $$x=1$$ даёт нулевой числитель, поэтому это значение не подходит.
Ответ: $$x\in(-4;1)\cup(1;2).$$
8) $$\frac{x^2-2x+1}{x^2+2x-8}\le 0$$
Получаем
$$\frac{(x-1)^2}{(x+4)(x-2)}\le 0.$$
Дробь неположительна, когда знаменатель отрицателен, либо числитель равен нулю:
$$(x+4)(x-2)<0 \quad \text{или} \quad x=1.$$
Из первого неравенства:
$$-4<x<2.$$
С учётом точки $$x=1$$ получаем
Ответ: $$x\in(-4;2).$$
