Упр.5.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (x-1)(x+3)^2(x-2) < 0; 3) (2x+1)^2(x-1)(x-2)?0; 2) |x-4|(x+1)(x-3) > 0; 4) (x-5)(x+4)(x^2+6x+9)?0.
$$ (x-1)(x+3)^2(x-2)<0 $$
Так как $$ (x+3)^2 \ge 0 $$ при любых $$x$$ и обращается в ноль только при $$x=-3$$, то знак произведения определяется множителем $$ (x-1)(x-2) $$.
Решаем неравенство:
$$ (x-1)(x-2)<0 $$
Отсюда
$$ 1<x<2. $$
$$ |x-4|(x+1)(x-3)>0 $$
Так как $$ |x-4|\ge 0 $$ и равно нулю только при $$x=4$$, то для положительности произведения нужно, чтобы
$$ (x+1)(x-3)>0 $$
и одновременно $$x\ne 4$$.
Решаем неравенство:
$$ (x+1)(x-3)>0 $$
Отсюда
$$ x<-1 \quad \text{или} \quad x>3. $$
Исключаем точку $$x=4$$.
$$ (2x+1)^2(x-1)(x-2)\ge 0 $$
Так как $$ (2x+1)^2\ge 0 $$ при любых $$x$$ и равно нулю при $$x=-\frac12$$, то достаточно рассмотреть
$$ (x-1)(x-2)\ge 0. $$
Получаем:
$$ x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 2. $$
$$ (x-5)(x+4)(x^2+6x+9)\ge 0 $$
Преобразуем квадратный трёхчлен:
$$ x^2+6x+9=(x+3)^2. $$
Тогда
$$ (x-5)(x+4)(x+3)^2\ge 0. $$
Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$, знак произведения определяется выражением $$ (x-5)(x+4) $$.
Решаем неравенство:
$$ (x-5)(x+4)\ge 0. $$
Отсюда
$$ x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 5. $$
Точка $$x=-3$$ входит в решение, так как при ней произведение равно нулю.
Ответ
1) $$x\in(1;2)$$;
2) $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$$;
3) $$x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty)$$;
4) $$x\in(-\infty;-4]\cup\{-3\}\cup[5;+\infty)$$.
