Упр.5.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Решите неравенство:
- 1) $$(x-1)(x+3)^2(x-2)<0$$; 3) $$(2x+1)^2(x-1)(x-2)?0$$; 2) $$|x-4|(x+1)(x-3)>0$$; 4) $$(x-5)(x+4)(x^2+6x+9)?0$$.
1) $$\left(x-1\right)\left(x+3\right)^2\left(x-2\right)<0$$
Так как $$\left(x+3\right)^2\ge 0,$$ то знак произведения определяется множителем $$\left(x-1\right)\left(x-2\right).$$
Решаем неравенство:
$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)<0.$$
Отсюда
$$1<x<2.$$
Ответ: $$x\in(1;2).$$
2) $$|x-4|\left(x+1\right)\left(x-3\right)>0$$
Так как $$|x-4|\ge 0,$$ то для положительности произведения нужно, чтобы
$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)>0,$$
и при этом $$|x-4|\ne 0,$$ то есть $$x\ne 4.$$
Решаем неравенство:
$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)>0.$$
Получаем
$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>3.$$
С учётом условия $$x\ne 4$$ имеем
$$x\in(-\infty;-1)\cup(3;4)\cup(4;+\infty).$$
Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(3;4)\cup(4;+\infty).$$
3) $$\left(2x+1\right)^2\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge 0$$
Так как $$\left(2x+1\right)^2\ge 0,$$ то достаточно решить неравенство
$$\left(x-1\right)\left(x-2\right)\ge 0.$$
Отсюда
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge 2.$$
Ответ: $$x\in(-\infty;1]\cup[2;+\infty).$$
4) $$\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x^2+6x+9\right)\ge 0$$
Преобразуем квадратный трёхчлен:
$$x^2+6x+9=\left(x+3\right)^2.$$
Тогда
$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)\left(x+3\right)^2\ge 0.$$
Так как $$\left(x+3\right)^2\ge 0,$$ то решаем неравенство
$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)\ge 0.$$
Получаем
$$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
Кроме того, при $$x=-3$$ всё произведение равно нулю, поэтому этот корень тоже входит в ответ.
Ответ: $$x\in(-\infty;-4]\cup\{-3\}\cup[5;+\infty).$$
