Упр.5.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (X+1)(x-2)(x+5) > 0; 4) (2x+3)(3x-1)(x+4) > 0;
2) x(x-3)(X+2) < 0; 5) (2x-1)(3-x)(x+1) < 0; 3) (x+7)(x+5)(x-9)?0; 6) (x-6)(7x+1)(2-9x)?0;

1. $$ (x+1)(x-2)(x+5)>0 $$

   Нули множителей: $$x=-5,\,-1,\,2.$$

   Располагаем их на числовой прямой и определяем знаки произведения по промежуткам. Для кубического произведения со старшим коэффициентом, равным $$1,$$ знаки чередуются:

   $$(-\infty,-5)\;-\,,\quad (-5,-1)\;+\,,\quad (-1,2)\;-\,,\quad (2,+\infty)\;+.$$

   Так как нужно $$>0,$$ получаем:

   $$x\in(-5,-1)\cup(2,+\infty).$$

2. $$x(x-3)(x+2)<0$$

   Нули: $$x=-2,\;0,\;3.$$

   Знаки произведения:

   $$(-\infty,-2)\;-\,,\quad (-2,0)\;+\,,\quad (0,3)\;-\,,\quad (3,+\infty)\;+.$$

   Так как нужно $$<0,$$ получаем:

   $$x\in(-\infty,-2)\cup(0,3).$$

3. $$ (x+7)(x+5)(x-9)\le 0 $$

   Нули: $$x=-7,\,-5,\,9.$$

   Знаки произведения:

   $$(-\infty,-7)\;-\,,\quad (-7,-5)\;+\,,\quad (-5,9)\;-\,,\quad (9,+\infty)\;+.$$

   Так как нужно $$\le 0,$$ включаем также нули:

   $$x\in(-\infty,-7]\cup[-5,9].$$

4. $$ (2x+3)(3x-1)(x+4)>0 $$

   Преобразуем множители:

   $$2x+3=2\left(x+\frac32\right),\qquad 3x-1=3\left(x-\frac13\right).$$

   Тогда

   $$6\left(x+\frac32\right)\left(x-\frac13\right)(x+4)>0.$$

   Так как $$6>0,$$ получаем равносильное неравенство

   $$\left(x+4\right)\left(x+\frac32\right)\left(x-\frac13\right)>0.$$

   Нули: $$x=-4,\,-\frac32,\,\frac13.$$

   Знаки по промежуткам:

   $$(-\infty,-4)\;-\,,\quad (-4,-\tfrac32)\;+\,,\quad (-\tfrac32,\tfrac13)\;-\,,\quad (\tfrac13,+\infty)\;+.$$

   Ответ:

   $$x\in(-4,-\tfrac32)\cup\left(\tfrac13,+\infty\right).$$

5. $$ (2x-1)(3-x)(x+1)<0 $$

   Преобразуем:

   $$3-x=-(x-3).$$

   Тогда

   $$-(2x-1)(x-3)(x+1)<0,$$

   или после умножения на $$-1$$ с изменением знака неравенства:

   $$ (2x-1)(x-3)(x+1)>0.$$

   Нули: $$x=-1,\;\frac12,\;3.$$

   Знаки произведения:

   $$(-\infty,-1)\;-\,,\quad (-1,\tfrac12)\;+\,,\quad (\tfrac12,3)\;-\,,\quad (3,+\infty)\;+.$$

   Так как нужно $$>0,$$ получаем:

   $$x\in(-1,\tfrac12)\cup(3,+\infty).$$

6. $$ (x-6)(7x+1)(2-9x)\ge 0 $$

   Преобразуем последний множитель:

   $$2-9x=-9\left(x-\frac29\right).$$

   Тогда

   $$-9(x-6)(7x+1)\left(x-\frac29\right)\ge 0.$$

   Делим на $$-9<0$$ и меняем знак неравенства:

   $$ (x-6)(7x+1)\left(x-\frac29\right)\le 0.$$

   Нули: $$x=-\frac17,\;\frac29,\;6.$$

   Знаки по промежуткам:

   $$(-\infty,-\tfrac17)\;-\,,\quad (-\tfrac17,\tfrac29)\;+\,,\quad (\tfrac29,6)\;-\,,\quad (6,+\infty)\;+.$$

   Так как нужно $$\le 0,$$ включаем нули:

   $$x\in(-\infty,-\tfrac17]\cup\left[\tfrac29,6\right].$$

Ответ

1) $$x\in(-5,-1)\cup(2,+\infty)$$

2) $$x\in(-\infty,-2)\cup(0,3)$$

3) $$x\in(-\infty,-7]\cup[-5,9]$$

4) $$x\in(-4,-\tfrac32)\cup\left(\tfrac13,+\infty\right)$$

5) $$x\in(-1,\tfrac12)\cup(3,+\infty)$$

6) $$x\in(-\infty,-\tfrac17]\cup\left[\tfrac29,6\right]$$