Упр.5.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. 1) $$(x+1)(x-2)(x+5)>0$$;
2. 4) $$(2x+3)(3x-1)(x+4)>0$$;
3. 2) $$x(x-3)(x+2)<0$$;
4. 5) $$(2x-1)(3-x)(x+1)<0$$;
5. 3) $$(x+7)(x+5)(x-9)?0$$;
6. 6) $$(x-6)(7x+1)(2-9x)?0$$.

1) $$\begin{aligned} (x+1)(x-2)(x+5)>0 \end{aligned}$$

Нули множителей: $$x=-5,\,-1,\,2.$$

Знаки на промежутках чередуются, поэтому произведение положительно на промежутках $$(-5;\,-1)$$ и $$(2;\,+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-5;\,-1)\cup(2;\,+\infty).$$

2) $$\begin{aligned} x(x-3)(x+2)<0 \end{aligned}$$

Нули множителей: $$x=-2,\,0,\,3.$$

Произведение отрицательно на промежутках $$(-\infty;\,-2)$$ и $$(0;\,3).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\,-2)\cup(0;\,3).$$

3) $$\begin{aligned} (x+7)(x+5)(x-9)≤0 \end{aligned}$$

Нули множителей: $$x=-7,\,-5,\,9.$$

Произведение не положительно на промежутках $$(-\infty;\,-7]$$ и $$[-5;\,9].$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\,-7]\cup[-5;\,9].$$

4) $$\begin{aligned} (2x+3)(3x-1)(x+4)>0 \end{aligned}$$

Приведём множители к виду с нулями:

$$\begin{aligned} 2x+3&=2\left(x+\frac32\right),\\ 3x-1&=3\left(x-\frac13\right). \end{aligned}$$

Тогда нули: $$x=-4,\,-\frac32,\,\frac13.$$

Произведение положительно на промежутках $$(-4;\,-\frac32)$$ и $$\left(\frac13;\,+\infty\right).$$

Ответ: $$x\in(-4;\,-\frac32)\cup\left(\frac13;\,+\infty\right).$$

5) $$\begin{aligned} (2x-1)(3-x)(x+1)<0 \end{aligned}$$

Преобразуем:

$$\begin{aligned} (2x-1)(3-x)(x+1)<0,\\ -(2x-1)(x-3)(x+1)<0,\\ (2x-1)(x-3)(x+1)>0. \end{aligned}$$

Нули: $$x=-1,\,\frac12,\,3.$$

Произведение положительно на промежутках $$(-1;\,\frac12)$$ и $$(3;\,+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-1;\,\frac12)\cup(3;\,+\infty).$$

6) $$\begin{aligned} (x-6)(7x+1)(2-9x)≥0 \end{aligned}$$

Преобразуем:

$$\begin{aligned} (x-6)(7x+1)(2-9x)≥0,\\ -9\left(x-\frac29\right)\cdot 7\left(x+\frac17\right)(x-6)≥0,\\ \left(x+\frac17\right)\left(x-\frac29\right)(x-6)≤0. \end{aligned}$$

Нули: $$x=-\frac17,\,\frac29,\,6.$$

Произведение неположительно на промежутках $$(-\infty;\,-\frac17]$$ и $$\left[\frac29;\,6\right].$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\,-\frac17]\cup\left[\frac29;\,6\right].$$