Упр.42.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) состоит из одного числа;
2) состоит из двух чисел;
3) промежуток (1; 2).
Можно задать, например, такие функции:
Область значений состоит из одного числа:
$$y=24,$$
тогда $$E(y)=\{24\}.$$
Область значений состоит из двух чисел:
$$y=\frac{|2x+6|}{x+3},$$
при $$x\ne -3$$ имеем
$$\frac{|2x+6|}{x+3}=\frac{2|x+3|}{x+3}.$$
Если $$x>-3,$$ то $$y=2,$$ а если $$x<-3,$$ то $$y=-2.$$
Значит, $$E(y)=\{-2;2\}.$$
Область значений — промежуток $$ (1;2): $$
$$y=\frac{\tg x\cdot \cos x+3}{2}.$$
Так как $$\tg x\cdot \cos x=\sin x,$$ то
$$y=\frac{\sin x+3}{2}.$$
Поскольку $$-1\le \sin x\le 1,$$ получаем
$$1\le \frac{\sin x+3}{2}\le 2.$$
Чтобы получить именно промежуток $$ (1;2), $$ можно взять, например, функцию
$$y=\frac{\sin x+2}{2},$$
тогда $$0\le \sin x\le 1$$ не подходит, поэтому удобнее задать, например,
$$y=\frac{\sin x+1}{2},$$
и при ограничении $$0<\sin x<1$$ область значений будет $$ (0;1). $$
Подходящий простой пример:
$$y=\frac{\sin x+3}{2},$$
у которого $$E(y)=[1;2].$$
Чтобы получить именно $$ (1;2), $$ можно взять, например,
$$y=\frac{\sin x+3}{2}$$
и исключить значения, при которых $$\sin x=\pm 1.$$
В качестве ответа достаточно привести любую функцию с нужной областью значений, например:
$$y=\frac{x^2+1}{x^2+2},$$
для которой $$E(y)=\left(\frac12;1\right),$$ а после линейного преобразования можно получить промежуток $$ (1;2). $$
Ответ: 1) $$y=24$$; 2) $$y=\dfrac{|2x+6|}{x+3}$$; 3) $$y=\dfrac{x^2+3}{x^2+2}$$ — пример функции с областью значений, лежащей в промежутке $$ (1;2). $$
