Упр.42.56 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. $$\sin(3x)>\frac{\sqrt{2}}{2}$$
2. $$\cos\frac{x}{2}\geq\frac{1}{2}$$
3. $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$$
4. $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)<-\frac{1}{2}$$
5. $$\operatorname{tg}\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\geq\frac{\sqrt{3}}{3}$$
6. $$\operatorname{ctg}\left(\frac{2x}{5}-\frac{\pi}{5}\right)\leq-1$$

1) $$\sin 3x>\frac{\sqrt2}{2}$$

Решим сначала уравнение $$\sin a=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$a=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad a=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Для неравенства получаем:

$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<3x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$

Делим на $$3$$:

$$\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos \frac{x}{2}\le \frac12$$

Решим уравнение $$\cos a=\frac12.$$

Тогда

$$a=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{x}{2}\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$

Умножим на $$2$$:

$$\frac{2\pi}{3}+4\pi n\le x\le \frac{10\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le \frac{\sqrt3}{2}$$

Решим уравнение $$\sin a=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Тогда

$$a=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad a=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Для неравенства:

$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x+\frac{\pi}{4}\le \frac{7\pi}{3}+2\pi n.$$

Вычтем $$\frac{\pi}{4}$$:

$$\frac{5\pi}{12}+2\pi n\le x\le \frac{25\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Это же можно записать как

$$-\frac{19\pi}{12}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\ge -\frac12$$

Решим уравнение $$\cos a=-\frac12.$$

Тогда

$$a=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Для неравенства:

$$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 2x-\frac{\pi}{6}\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{6}$$:

$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$

Делим на $$2$$:

$$-\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\le \frac{\sqrt3}{3}$$

Решим уравнение $$\tg a=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Тогда

$$a=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Так как функция $$\tg x$$ возрастает на каждом промежутке своей области определения, получаем:

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\le \frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Вычтем $$\frac{\pi}{3}$$:

$$-\frac{5\pi}{6}+\pi n<\frac{x}{3}\le -\frac{\pi}{6}+\pi n.$$

Умножим на $$3$$:

$$-\frac{5\pi}{2}+3\pi n<x\le -\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6) $$\ctg\left(\frac{2x}{5}-\frac{\pi}{5}\right)>-1$$

Решим уравнение $$\ctg a=-1.$$

Тогда

$$a=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Функция $$\ctg x$$ убывает на каждом промежутке своей области определения, поэтому

$$\pi n<\frac{2x}{5}-\frac{\pi}{5}<\frac{3\pi}{4}+\pi n.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{5}$$:

$$\frac{6\pi}{5}+\pi n<\frac{2x}{5}<\frac{19\pi}{20}+\pi n.$$

Умножим на $$\frac{5}{2}$$:

$$\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi n}{2}<x<\frac{19\pi}{8}+\frac{5\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$\frac{2\pi}{3}+4\pi n\le x\le \frac{10\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$-\frac{19\pi}{12}+2\pi n\le x\le \frac{\pi}{12}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

5) $$-\frac{5\pi}{2}+3\pi n<x\le -\frac{\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

6) $$\frac{3\pi}{2}+\frac{5\pi n}{2}<x<\frac{19\pi}{8}+\frac{5\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$