Упр.42.56 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(3x) > v2/2; 4) cos(2x-?/6)?-1/2;
2) cos(x/2)?1/2; 5) tg(x/3+?/3)?v3/3;
3) sin(x+?/4)?v3/2; 6) ctg(2x/5-?/5)?-1.

1. $$\sin 3x>\frac{\sqrt2}{2}$$

   Значения, при которых $$\sin a=\frac{\sqrt2}{2}$$:

   $$a=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad a=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Для неравенства получаем:

   $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<3x<\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
   $$\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\cos\frac{x}{2}\le \frac12$$

   Решаем соответствующее уравнение:

   $$\cos a=\frac12,\quad a=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На промежутке между этими точками косинус не превосходит $$\frac12$$, поэтому

   $$\frac{\pi}{3}+2\pi n\le \frac{x}{2}\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$
   $$\frac{2\pi}{3}+4\pi n\le x\le \frac{10\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le \frac{\sqrt3}{2}$$

   Решаем уравнение:

   $$\sin a=\frac{\sqrt3}{2},\quad a=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Тогда

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le x+\frac{\pi}{4}\le \frac{7\pi}{3}+2\pi n.$$
   $$\frac{5\pi}{12}+2\pi n\le x\le \frac{25\pi}{12}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\ge -\frac12$$

   Решаем уравнение:

   $$\cos a=-\frac12,\quad a=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Для неравенства:

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n\le 2x-\frac{\pi}{6}\le \frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$
   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n.$$
   $$-\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\tg\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\right)\le \frac{\sqrt3}{3}$$

   Решаем уравнение:

   $$\tg a=\frac{\sqrt3}{3},\quad a=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Так как тангенс возрастает на каждом промежутке $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$, получаем:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{x}{3}+\frac{\pi}{3}\le \frac{\pi}{6}+\pi n.$$
   $$-\frac{5\pi}{6}+\pi n<\frac{x}{3}\le -\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
   $$-\frac{5\pi}{2}+3\pi n<x\le -\frac{\pi}{2}+3\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6. $$\ctg\left(\frac{2x}{5}-\frac{\pi}{5}\right)\ge -1$$

   Решаем уравнение:

   $$\ctg a=-1,\quad a=\frac{3\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На каждом промежутке $$\left(\pi n,\pi+\pi n\right)$$ функция $$\ctg a$$ убывает, поэтому

   $$\pi n<\frac{2x}{5}-\frac{\pi}{5}\le \frac{3\pi}{4}+\pi n.$$
   $$\frac{\pi}{5}+\pi n<\frac{2x}{5}\le \frac{19\pi}{20}+\pi n.$$
   $$\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi n}{2}<x\le \frac{19\pi}{8}+\frac{5\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\frac{\pi}{12}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$
2) $$\frac{2\pi}{3}+4\pi n\le x\le \frac{10\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3) $$\frac{5\pi}{12}+2\pi n\le x\le \frac{25\pi}{12}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$-\frac{\pi}{4}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{12}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5) $$-\frac{5\pi}{2}+3\pi n<x\le -\frac{\pi}{2}+3\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
6) $$\frac{\pi}{2}+\frac{5\pi n}{2}<x\le \frac{19\pi}{8}+\frac{5\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$