Упр.42.55 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 42.55. Найдите корни уравнения |sin(x)|=2sin(x)+cos(x), принадлежащие промежутку [0; 2?].

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и уравнение принимает вид

   $$\sin x=2\sin x+\cos x.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$\sin x+\cos x=0.$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$\tg x+1=0,$$

   откуда

   $$\tg x=-1.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   С учётом условия $$\sin x>0$$ подходит

   $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

2. Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и получаем

   $$-\sin x=2\sin x+\cos x.$$

   Тогда

   $$3\sin x+\cos x=0.$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$3\tg x+1=0,$$

   откуда

   $$\tg x=-\frac13.$$

   Следовательно,

   $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   С учётом условия $$\sin x<0$$ подходит

   $$x=2\pi k-\arctg\frac13,\quad k\in\mathbb Z.$$

Теперь найдём корни на отрезке $$[0;2\pi].$$

Из первого семейства получаем

$$x=\frac{3\pi}{4}.$$

Из второго семейства получаем

$$x=2\pi-\arctg\frac13.$$

Ответ

$$\frac{3\pi}{4};\ 2\pi-\arctg\frac13.$$