Упр.42.55 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите корни уравнения $$|\sin(x)|=2\sin(x)+\cos(x)$$, принадлежащие промежутку $$[0;2\pi]$$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и уравнение принимает вид

   $$\sin x=2\sin x+\cos x,$$

   $$\sin x+\cos x=0.$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$\tg x+1=0,$$

   $$\tg x=-1.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем

   $$x=\frac{3\pi}{4}.$$

2. Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и уравнение принимает вид

   $$-\sin x=2\sin x+\cos x,$$

   $$3\sin x+\cos x=0.$$

   Делим на $$\cos x$$:

   $$3\tg x+1=0,$$

   $$\tg x=-\frac13.$$

   Тогда

   $$x=-\arctg\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$

   На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем

   $$x=2\pi-\arctg\frac13.$$

Проверка показывает, что оба найденных значения удовлетворяют уравнению.

Ответ

$$\frac{3\pi}{4};\ 2\pi-\arctg\frac13.$$