Упр.42.54 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2cos^2(x)=3sin(x)+2; 9) 2,5sin(2x)-sin^2(x)=2;
2) cos(2x)+sin(x)=0; 10) cos^2(x/2)-1,5sin(x)=1;
3) 2cos(2x)-3cos(x)+2=0; 11) 5sin(2x)-2sin(x)=0;
4) 2sin(2x)=tg(x)+ctg(x); 12) sin(2x)=cos^4(x/2)-sin^4(x/2);
5) 3tg^2(x)-8cos^2(x)+1=0; 13) sin(x)+sin(5x)=0;
6) 2tg(x)+3ctg(x)=5; 14) 2sin^2(x)+sin(3x)-sin(x)=1;
7) sin(x)+2cos(x)=0; 15) cos(2x)+cos(6x)=3cos(4x);
8) 3sin^2(x)+sin(x)cos(x)=2cos^2(x); 16) cos(x)-cos(3x)=v2sin(2x).

1. $$2\cos^2 x=3\sin x+2$$
   $$2(1-\sin^2 x)=3\sin x+2$$
   $$2\sin^2 x+3\sin x=0$$
   $$\sin x(2\sin x+3)=0$$
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac{3}{2}$$
   Второе уравнение не имеет решений, значит
   $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2. $$\cos 2x+\sin x=0$$
   $$1-2\sin^2 x+\sin x=0$$
   $$2\sin^2 x-\sin x-1=0$$
   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
   $$2y^2-y-1=0$$
   $$y_1=-\frac12,\quad y_2=1$$
   Отсюда
   $$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$
   $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
3. $$2\cos 2x-3\cos x+2=0$$
   $$2(2\cos^2 x-1)-3\cos x+2=0$$
   $$4\cos^2 x-3\cos x=0$$
   $$\cos x(4\cos x-3)=0$$
   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac34$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm\arccos\frac34+2\pi n.$$
4. $$2\sin 2x=\tg x+\ctg x$$
   $$2\sin 2x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}$$
   $$2\sin 2x=\frac{1}{\sin x\cos x}$$
   $$4\sin^2 x\cos^2 x=1$$
   $$\sin^2 2x=1$$
   $$\sin 2x=\pm1$$
   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
5. $$3\tg^2 x-8\cos^2 x+1=0$$
   $$3(1+\tg^2 x)-8\cos^2 x-2=0$$
   $$\frac{3}{\cos^2 x}-8\cos^2 x-2=0$$
   Пусть $$y=\cos^2 x$$. Тогда
   $$3-8y^2-2y=0$$
   $$8y^2+2y-3=0$$
   $$y_1=-\frac34,\quad y_2=\frac12$$
   Так как $$\cos^2 x\ge 0$$, то подходит только
   $$\cos^2 x=\frac12$$
   $$\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
6. $$2\tg x+3\ctg x=5$$
   $$2\tg^2 x-5\tg x+3=0$$
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$2y^2-5y+3=0$$
   $$y_1=1,\quad y_2=\frac32$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac32+\pi n.$$
7. $$\sin x+2\cos x=0$$
   $$\tg x=-2$$
   $$x=-\arctg 2+\pi n.$$
8. $$3\sin^2 x+\sin x\cos x=2\cos^2 x$$
   $$3\tg^2 x+\tg x-2=0$$
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$3y^2+y-2=0$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac23$$
   Следовательно,
   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad x=\arctg\frac23+\pi n.$$
9. $$2{,}5\sin 2x-\sin^2 x=2$$
   $$5\sin x\cos x-\sin^2 x=2(\sin^2 x+\cos^2 x)$$
   $$3\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$
   $$3\tg^2 x-5\tg x+2=0$$
   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
   $$3y^2-5y+2=0$$
   $$y_1=\frac23,\quad y_2=1$$
   Значит,
   $$x=\arctg\frac23+\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
10. $$\cos^2\frac{x}{2}-1{,}5\sin x=1$$
    $$\cos^2\frac{x}{2}-3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}$$
    $$\sin^2\frac{x}{2}+3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$
    $$\cos^2\frac{x}{2}\left(\tg^2\frac{x}{2}+3\tg\frac{x}{2}\right)=0$$
    $$\tg\frac{x}{2}\left(\tg\frac{x}{2}+3\right)=0$$
    Отсюда
    $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-2\arctg 3+2\pi n.$$
11. $$5\sin 2x-2\sin x=0$$
    $$2\sin x(5\cos x-1)=0$$
    $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac15$$
    Тогда
    $$x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm\arccos\frac15+2\pi n.$$
12. $$\sin 2x=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$
    $$\sin 2x=\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)$$
    $$\sin 2x=\cos x$$
    $$2\sin x\cos x=\cos x$$
    $$\cos x(2\sin x-1)=0$$
    Отсюда
    $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
13. $$\sin x+\sin 5x=0$$
    $$2\sin 3x\cos 2x=0$$
    $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$
    Тогда
    $$x=\frac{\pi n}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
14. $$2\sin^2 x+\sin 3x-\sin x=1$$
    $$(\sin 3x-\sin x)-(1-2\sin^2 x)=0$$
    $$2\sin x\cos 2x-\cos 2x=0$$
    $$\cos 2x(2\sin x-1)=0$$
    Отсюда
    $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
15. $$\cos 2x+\cos 6x=3\cos 4x$$
    $$2\cos 4x\cos 2x-3\cos 4x=0$$
    $$\cos 4x(2\cos 2x-3)=0$$
    Так как $$2\cos 2x-3=0$$ решений не имеет, то
    $$\cos 4x=0$$
    $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
    $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$
16. $$\cos x-\cos 3x=\sqrt2\sin 2x$$
    $$\sqrt2\sin 2x+(\cos 3x-\cos x)=0$$
    $$\sqrt2\sin 2x-2\sin 2x\sin x=0$$
    $$\sin 2x(\sqrt2-2\sin x)=0$$
    Отсюда
    $$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$
    или
    $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

Ответ

1) $$x=\pi n$$;
2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$;
3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\arccos\frac34+2\pi n$$;
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$;
5) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$;
6) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac32+\pi n$$;
7) $$x=-\arctg 2+\pi n$$;
8) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac23+\pi n$$;
9) $$x=\arctg\frac23+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$;
10) $$x=2\pi n,\ -2\arctg 3+2\pi n$$;
11) $$x=\pi n,\ \pm\arccos\frac15+2\pi n$$;
12) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
13) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$;
14) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$;
15) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$;
16) $$x=\frac{\pi n}{2},\ (-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.