Упр.42.54 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) $$2\cos^2 x=3\sin x+2$$

$$2(1-\sin^2 x)=3\sin x+2$$

$$2\sin^2 x+3\sin x=0$$

$$\sin x(2\sin x+3)=0$$

Отсюда $$\sin x=0$$, так как $$\sin x=-\frac32$$ невозможно.

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$\cos 2x+\sin x=0$$

$$1-2\sin^2 x+\sin x=0$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0$$

$$y_1=-\frac12,\quad y_2=1$$

Тогда

$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

3) $$2\cos 2x-3\cos x+2=0$$

$$2(2\cos^2 x-1)-3\cos x+2=0$$

$$4\cos^2 x-3\cos x=0$$

$$\cos x(4\cos x-3)=0$$

Отсюда

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\cos x=\frac34 \Rightarrow x=\pm\arccos\frac34+2\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

4) $$2\sin 2x=\tg x+\ctg x$$

$$2\sin 2x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}=\frac1{\sin x\cos x}$$

$$2\sin 2x=\frac1{\sin x\cos x}$$

$$2\cdot 2\sin x\cos x=\frac1{\sin x\cos x}$$

$$4\sin^2 x\cos^2 x=1$$

$$\sin^2 2x=1$$

$$\sin 2x=\pm1$$

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

5) $$3\tg^2 x-8\cos^2 x+1=0$$

$$3(1+\tg^2 x)-8\cos^2 x-2=0$$

$$\frac{3}{\cos^2 x}-8\cos^2 x-2=0$$

Пусть $$y=\cos^2 x$$. Тогда

$$3-8y^2-2y=0$$

$$8y^2+2y-3=0$$

$$y_1=-\frac34,\quad y_2=\frac12$$

Так как $$\cos^2 x\ge 0$$, подходит только $$\cos^2 x=\frac12$$.

$$\sin^2 x=\frac12$$

$$\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

6) $$2\tg x+3\ctg x=5$$

$$2\tg^2 x+3=5\tg x$$

$$2\tg^2 x-5\tg x+3=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$2y^2-5y+3=0$$

$$y_1=1,\quad y_2=\frac32$$

Следовательно,

$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$\tg x=\frac32 \Rightarrow x=\arctg\frac32+\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

7) $$\sin x+2\cos x=0$$

$$\tg x=-2$$

$$x=-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

8) $$3\sin^2 x+\sin x\cos x=2\cos^2 x$$

$$3\tg^2 x+\tg x-2=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$3y^2+y-2=0$$

$$y_1=-1,\quad y_2=\frac23$$

Значит,

$$\tg x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$\tg x=\frac23 \Rightarrow x=\arctg\frac23+\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

9) $$2{,}5\sin 2x-\sin^2 x=2$$

$$2{,}5\cdot 2\sin x\cos x-\sin^2 x=2(\sin^2 x+\cos^2 x)$$

$$3\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

$$3\tg^2 x-5\tg x+2=0$$

Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

$$3y^2-5y+2=0$$

$$y_1=\frac23,\quad y_2=1$$

Следовательно,

$$x=\arctg\frac23+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

10) $$\cos^2\frac{x}{2}-1{,}5\sin x=1$$

$$\cos^2\frac{x}{2}-1{,}5\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}$$

$$\sin^2\frac{x}{2}+3\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0$$

$$\tg\frac{x}{2}\left(\tg\frac{x}{2}+3\right)=0$$

Отсюда

$$\tg\frac{x}{2}=0 \Rightarrow x=2\pi n$$

$$\tg\frac{x}{2}=-3 \Rightarrow x=-2\arctg 3+2\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

11) $$5\sin 2x-2\sin x=0$$

$$5\cdot 2\sin x\cos x-2\sin x=0$$

$$2\sin x(5\cos x-1)=0$$

Следовательно,

$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n$$

$$\cos x=\frac15 \Rightarrow x=\pm\arccos\frac15+2\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

12) $$\sin 2x=\cos^4\frac{x}{2}-\sin^4\frac{x}{2}$$

$$\sin 2x=\left(\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}\right)\left(\cos^2\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}\right)=\cos x$$

Тогда

$$2\sin x\cos x=\cos x$$

$$\cos x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда

$$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

13) $$\sin x+\sin 5x=0$$

$$2\sin 3x\cos 2x=0$$

Следовательно,

$$\sin 3x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}$$

$$\cos 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

$$n\in\mathbb Z$$

14) $$2\sin^2 x+\sin 3x-\sin x=1$$

$$\sin 3x-\sin x-(1-2\sin^2 x)=0$$

$$2\sin x\cos 2x-\cos 2x=0$$

$$\cos 2x(2\sin x-1)=0$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

$$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

15) $$\cos 2x+\cos 6x=3\cos 4x$$

$$2\cos 4x\cos 2x-3\cos 4x=0$$

$$\cos 4x(2\cos 2x-3)=0$$

Так как $$2\cos 2x-3=0$$ не имеет решений, остаётся

$$\cos 4x=0$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z$$

16) $$\cos x-\cos 3x=\sqrt2\sin 2x$$

$$\sqrt2\sin 2x+(\cos 3x-\cos x)=0$$

$$\sqrt2\sin 2x-2\sin 2x\sin x=0$$

$$\sin 2x(\sqrt2-2\sin x)=0$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

$$\sin x=\frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$

$$n\in\mathbb Z$$

Ответ:

1) $$x=\pi n$$; 2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n$$; 3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\arccos\frac34+2\pi n$$; 4) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; 5) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; 6) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac32+\pi n$$; 7) $$x=-\arctg 2+\pi n$$; 8) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg\frac23+\pi n$$; 9) $$x=\arctg\frac23+\pi n,\ \frac{\pi}{4}+\pi n$$; 10) $$x=2\pi n,\ -2\arctg 3+2\pi n$$; 11) $$x=\pi n,\ \pm\arccos\frac15+2\pi n$$; 12) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; 13) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; 14) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; 15) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$; 16) $$x=\frac{\pi n}{2},\ (-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.