Упр.42.53 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите уравнение: 1) $$\arcsin x=-\frac{\pi}{4}$$; 3) $$\arccos(x-1)=\frac{2\pi}{3}$$; 2) $$\arcsin x=\frac{5\pi}{6}$$; 4) $$\operatorname{arctg}(3x+\sqrt{3})=\frac{\pi}{6}$$.

1) $$\arcsin x=-\frac{\pi}{4}$$

Тогда

$$x=\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

2) $$\arcsin x=\frac{5\pi}{6}$$

Но значения функции $$\arcsin x$$ принадлежат промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right],$$ а число $$\frac{5\pi}{6}$$ ему не принадлежит. Следовательно, корней нет.

3) $$\arccos(x-1)=\frac{2\pi}{3}$$

Тогда

$$x-1=\cos\frac{2\pi}{3}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12,$$

откуда

$$x=1-\frac12=\frac12.$$

4) $$\arctg(3x+\sqrt3)=\frac{\pi}{6}$$

Тогда

$$3x+\sqrt3=\tg\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{3},$$

$$3x=\frac{\sqrt3}{3}-\sqrt3=\frac{\sqrt3-3\sqrt3}{3}=-\frac{2\sqrt3}{3},$$

$$x=-\frac{2\sqrt3}{9}.$$

Ответ

1) $$-\frac{\sqrt2}{2}$$; 2) корней нет; 3) $$\frac12$$; 4) $$-\frac{2\sqrt3}{9}$$.