Упр.42.52 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) y=2arcsin(x)-?/4; 2) y=5-3arcctg(2x).

1) Для функции $$y=2\arcsin x-\frac{\pi}{4}$$ учитываем, что

$$-\frac{\pi}{2}\le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}.$$

Умножим неравенство на $$2$$:

$$-\pi \le 2\arcsin x \le \pi.$$

Вычтем $$\frac{\pi}{4}$$:

$$-\pi-\frac{\pi}{4}\le 2\arcsin x-\frac{\pi}{4}\le \pi-\frac{\pi}{4}.$$

Получаем

$$-\frac{5\pi}{4}\le y\le \frac{3\pi}{4}.$$

Значит,

$$E(y)=\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right].$$

2) Для функции $$y=5-3\operatorname{arcctg}(2x)$$ используем, что

$$0<\operatorname{arcctg}(2x)<\pi.$$

Умножим на $$-3$$, при этом знаки неравенств изменятся:

$$-3\pi<-3\operatorname{arcctg}(2x)<0.$$

Прибавим $$5$$:

$$5-3\pi<5-3\operatorname{arcctg}(2x)<5.$$

Следовательно,

$$E(y)=\left(5-3\pi;5\right).$$

Ответ

1) $$\left[-\frac{5\pi}{4};\frac{3\pi}{4}\right]$$; 2) $$\left(5-3\pi;5\right)$$.