Упр.42.50 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Вычислите значение выражения: 1) $$\cos\left(\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$; 3) $$\tg\left(2\arctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)$$; 2) $$\sin\left(\arcsin\frac{1}{2}+\arccos\frac{1}{2}\right)$$; 4) $$\ctg\left(3\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)$$.

1) $$\cos\left(\arccos\frac{\sqrt3}{2}+\frac12\arcsin\frac{\sqrt3}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac12\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

2) $$\sin\left(\arcsin\frac12+\arccos\frac12\right)=\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

3) $$\tg\left(2\arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)\right)=\tg\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\tg\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt3.$$

4) $$\ctg\left(3\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)\right)=\ctg\left(3\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)\right)=\ctg\frac{5\pi}{2}=\ctg\left(2\pi+\frac{\pi}{2}\right)=\ctg\frac{\pi}{2}=0.$$

Ответ: 1) $$\frac12$$; 2) $$1$$; 3) $$-\sqrt3$$; 4) $$0$$.