Упр.42.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)={(-8/x, если x?-4; -x-2, если -4 < x < 2, -8/x, если x?2); 2) f(x)={(5, если x?-2; x^2-2x-3, если -2 < x < 4; 2x-3, если x?4).

Подробный ответ

$$f(x)= \begin{cases} -\dfrac{8}{x}, & x\le -4,\\ -x-2, & -4<x<2,\\ -\dfrac{8}{x}, & x\ge 2. \end{cases}$$
Функция $$y=-\dfrac{8}{x}$$ на промежутках $$(-\infty;0)$$ и $$ (0;+\infty)$$ возрастает, значит на $$(-\infty;-4]$$ и $$[2;+\infty)$$ она возрастает.
Функция $$y=-x-2$$ — линейная с отрицательным коэффициентом при $$x$$, поэтому на $$(-4;2)$$ она убывает.
С учётом точек склейки получаем:
возрастает на $$(-\infty;-4]\cup[2;+\infty)$$;
убывает на $$[-4;2]$$.
$$f(x)= \begin{cases} 5, & x\le -2,\\ x^2-2x-3, & -2<x<4,\\ 2x-3, & x\ge 4. \end{cases}$$
На промежутке $$(-\infty;-2]$$ функция постоянна: $$f(x)=5$$.
Рассмотрим параболу $$y=x^2-2x-3$$. Её вершина имеет абсциссу
$$x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2\cdot 1}=1.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то она убывает на $$(-\infty;1]$$ и возрастает на $$[1;+\infty)$$. С учётом области задания получаем: на $$(-2;1]$$ функция убывает, а на $$[1;4)$$ возрастает.
Функция $$y=2x-3$$ возрастает на всей области определения, значит на $$[4;+\infty)$$ она возрастает.
Итак:
постоянна на $$(-\infty;-2]$$;
убывает на $$[-2;1]$$;
возрастает на $$[1;+\infty)$$.