Упр.42.49 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Сколько корней уравнения $$\operatorname{tg}\frac{x}{2}=-1$$ принадлежат промежутку $$\left[0;\frac{9\pi}{2}\right]$$?

Решим уравнение:

$$\tg \frac{x}{2}=-1.$$

Общее решение:

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Найдём, какие из этих корней принадлежат промежутку $$\left[0;\frac{9\pi}{2}\right].$$

$$0\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2}.$$

Прибавим $$\frac{\pi}{2}$$ к каждой части:

$$\frac{\pi}{2}\le 2\pi n\le 5\pi.$$

Разделим на $$2\pi$$:

$$\frac14\le n\le \frac52.$$

Целые значения $$n$$: $$n=1,\ 2.$$

Значит, на данном промежутке уравнение имеет 2 корня.

Ответ: 2.