Упр.42.49 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 42.49. Сколько корней уравнения tg(x/2)=-1 принадлежат промежутку [0; 9?/2]?

Решим уравнение:

$$\tg\frac{x}{2}=-1.$$

Тогда

$$\frac{x}{2}=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Найдём, при каких целых значениях $n$ корни принадлежат промежутку $$\left[0;\frac{9\pi}{2}\right].$$

Составим двойное неравенство:

$$0\le -\frac{\pi}{2}+2\pi n\le \frac{9\pi}{2}.$$

Прибавим $\frac{\pi}{2}$ ко всем частям:

$$\frac{\pi}{2}\le 2\pi n\le 5\pi.$$

Разделим на $2\pi$:

$$\frac14\le n\le \frac52.$$

Целые значения $n$: $$n=1,\;2.$$

Значит, на данном промежутке уравнение имеет 2 корня.

Ответ

2