Упр.42.48 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $$\cos\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Решим уравнение:

$$\cos\left(2x-\frac{2\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Тогда

$$2x-\frac{2\pi}{3}=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

1) Если

$$2x-\frac{2\pi}{3}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

то

$$2x=\frac{2\pi}{3}+\frac{3\pi}{4}+2\pi n=\frac{17\pi}{12}+2\pi n,$$

$$x=\frac{17\pi}{24}+\pi n.$$

2) Если

$$2x-\frac{2\pi}{3}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

то

$$2x=\frac{2\pi}{3}-\frac{3\pi}{4}+2\pi n=-\frac{\pi}{12}+2\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{24}+\pi n.$$

Найдём наибольший отрицательный корень. В последовательности $$x=-\frac{\pi}{24}+\pi n$$ при $$n=0$$ получаем $$x=-\frac{\pi}{24}$$ — это отрицательный корень, ближайший к нулю. В другой последовательности при $$n=0$$ корень положительный, а при $$n=-1$$ он уже меньше.

Ответ: $$-\frac{\pi}{24}$$.