Упр.42.47 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 42.47. Найдите наименьший положительный корень уравнения sin(x+?/3)=1/2.

Решим уравнение:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Пусть

$$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Найдём наименьший положительный корень. Из первого семейства при $k=1$ получаем

$$x=\frac{11\pi}{6},$$

а из второго семейства при $k=0$ получаем

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Наименьший положительный корень — $$\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$