Упр.42.47 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите наименьший положительный корень уравнения $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$$.

Решим уравнение:

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

Пусть

$$x+\frac{\pi}{3}=t.$$

Тогда

$$\sin t=\frac12,$$

откуда

$$t=\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:

$$x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2\pi k=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,$$

$$x=\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+2\pi k=\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$

Наименьший положительный корень даёт второе семейство при $$k=0$$:

$$x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\pi}{2}$$