Упр.42.45 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(2a)/(1+cos(2a));
2) (1-cos(6a)-cos(2a)+cos(4a))/(2sin(a)cos(2a));
3) sin(6a)tg(3a)+2cos^2(3a);
4) cos^4(a)-sin^2(a)-cos(2a)+sin^2(a)cos^2(a);
5) (2cos^2(2a)+sin(2a)-1)/(sin(2a)-sin^2(2a)+cos^2(2a));
6) (sin(5?/2-2a)+2sin^2(2a-3?/2)-1)/(2cos(3a));
7) (cos(a)/sin(2a)-sin(a)/cos(2a))·(cos(2a)-cos(6a)/(sin(5a)-sin(a));
8) sin^2(4a-?/2)/(ctg(3?/2+2a)+tg(3?/2-2a)).

1. $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{\sin 2a}{2\cos^2 a}=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}=\tg a.$$

2. $$\frac{1-\cos 6a-\cos 2a+\cos 4a}{2\sin a\cos 2a}=\frac{2\cdot \frac{1-\cos 6a}{2}-\left(\cos 2a-\cos 4a\right)}{2\sin a\cos 2a}.$$
   Используем формулы:
   $$1-\cos 6a=2\sin^2 3a,\qquad \cos 2a-\cos 4a=2\sin 3a\sin a.$$
   Тогда
   $$\frac{2\sin^2 3a+2\sin 3a\sin a}{2\sin a\cos 2a} =\frac{2\sin 3a(\sin 3a+\sin a)}{2\sin a\cos 2a}.$$
   Удобнее преобразовать исходное выражение так:
   $$1-\cos 6a-\cos 2a+\cos 4a=(1-\cos 6a)+(\cos 4a-\cos 2a)$$
   $$=2\sin^2 3a-2\sin 3a\sin a=2\sin 3a(\sin 3a-\sin a).$$
   По формуле
   $$\sin 3a-\sin a=2\cos 2a\sin a,$$
   получаем
   $$\frac{2\sin 3a\cdot 2\cos 2a\sin a}{2\sin a\cos 2a}=2\sin 3a.$$

3. $$\sin 6a\cdot \tg 3a+2\cos^2 3a=2\sin 3a\cos 3a\cdot \frac{\sin 3a}{\cos 3a}+2\cos^2 3a$$
   $$=2\sin^2 3a+2\cos^2 3a=2(\sin^2 3a+\cos^2 3a)=2.$$

4. $$\cos^4 a-\sin^2 a-\cos 2a+\sin^2 a\cos^2 a$$
   $$=\cos^2 a(\cos^2 a+\sin^2 a)-\sin^2 a-(\cos^2 a-\sin^2 a)$$
   $$=\cos^2 a-\cos^2 a=0.$$

5. $$\frac{2\cos^2 2a+\sin 2a-1}{\sin 2a-\sin^2 2a+\cos^2 2a} =\frac{2\cos^2 2a+\sin 2a-1}{\sin 2a-(1-\cos^2 2a)+\cos^2 2a}$$
   $$=\frac{2\cos^2 2a+\sin 2a-1}{\sin 2a+2\cos^2 2a-1}=1.$$

6. $$\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2}-2a\right)+2\sin^2\left(2a-\frac{3\pi}{2}\right)-1}{2\cos 3a}$$
   $$=\frac{\cos 2a+2\cos^2 2a-1}{2\cos 3a}$$
   $$=\frac{\cos 2a+\cos 4a}{2\cos 3a} =\frac{2\cos 3a\cos a}{2\cos 3a}=\cos a.$$

7. $$\left(\frac{\cos a}{\sin 2a}-\frac{\sin a}{\cos 2a}\right)\cdot \frac{\cos 2a-\cos 6a}{\sin 5a-\sin a}$$
   $$=\frac{\cos a\cos 2a-\sin a\sin 2a}{\sin 2a\cos 2a}\cdot \frac{-2\sin 4a\sin(-2a)}{2\sin 3a\cos 2a}$$
   $$=\frac{\cos(2a+a)}{\frac12\sin 4a}\cdot \frac{\sin 4a\sin 2a}{\sin 2a\cos 3a}$$
   $$=\frac{2\cos 3a}{\cos 3a}=2.$$

8. $$\frac{\sin^2\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)}{\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+2a\right)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}-2a\right)}$$
   $$=\frac{\cos^2 4a}{-\tg 2a+\ctg 2a}$$
   $$=\cos^2 4a\cdot \frac{\sin 2a\cos 2a}{\cos^2 2a-\sin^2 2a}$$
   $$=\cos^2 4a\cdot \frac{\sin 4a}{\cos 4a}\cdot \frac12 =\frac14\sin 8a.$$

Ответ

1. $$\tg a$$
2. $$2\sin 3a$$
3. $$2$$
4. $$0$$
5. $$1$$
6. $$\cos a$$
7. $$2$$
8. $$\frac14\sin 8a$$