Упр.42.45 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}=\frac{\sin 2a}{2\cos^2 a}=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

2) $$\frac{1-\cos 6a-\cos 2a+\cos 4a}{2\sin a\cos 2a}=\frac{2\cdot\frac{1-\cos 2a}{2}-(\cos 6a-\cos 4a)}{2\sin a\cos 2a}$$

$$=\frac{2\sin^2 a+2\sin 5a\sin a}{2\sin a\cos 2a}=\frac{\sin 5a+\sin a}{\cos 2a}=\frac{2\sin 3a\cos 2a}{\cos 2a}=2\sin 3a.$$

3) $$\sin 6a\cdot\tg 3a+2\cos^2 3a=2\sin 3a\cos 3a\cdot\frac{\sin 3a}{\cos 3a}+2\cos^2 3a$$

$$=2\sin^2 3a+2\cos^2 3a=2(\sin^2 3a+\cos^2 3a)=2.$$

4) $$\cos^4 a-\sin^2 a-\cos 2a+\sin^2 a\cos^2 a$$

$$=\cos^2 a(\cos^2 a+\sin^2 a)-\sin^2 a-(\cos^2 a-\sin^2 a)=\cos^2 a-\cos^2 a=0.$$

5) $$\frac{2\cos^2 2a+\sin 2a-1}{\sin 2a-\sin^2 2a+\cos^2 2a}=\frac{2\cos^2 2a+\sin 2a-1}{\sin 2a-(1-\cos^2 2a)+\cos^2 2a}$$

$$=\frac{2\cos^2 2a+\sin 2a-1}{\sin 2a+2\cos^2 2a-1}=1.$$

6) $$\frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2}-2a\right)+2\sin^2\left(2a-\frac{3\pi}{2}\right)-1}{2\cos 3a}$$

$$=\frac{\cos 2a+2\cos^2 2a-1}{2\cos 3a}=\frac{\cos 2a+\cos 4a}{2\cos 3a}=\frac{2\cos 3a\cos a}{2\cos 3a}=\cos a.$$

7) $$\left(\frac{\cos a}{\sin 2a}-\frac{\sin a}{\cos 2a}\right)\cdot\frac{\cos 2a-\cos 6a}{\sin 5a-\sin a}$$

$$=\frac{\cos a\cos 2a-\sin a\sin 2a}{\sin 2a\cos 2a}\cdot\frac{-2\sin 4a\sin(-2a)}{2\sin 2a\cos 3a}$$

$$=\frac{\cos(2a+a)}{\frac12\sin 4a}\cdot\frac{\sin 4a\sin 2a}{\sin 2a\cos 3a}=\frac{2\cos 3a}{\cos 3a}=2.$$

8) $$\frac{\sin^2\left(4a-\frac{\pi}{2}\right)}{\ctg\left(\frac{3\pi}{2}+2a\right)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}-2a\right)}=\frac{\cos^2 4a}{-\tg 2a+\ctg 2a}$$

$$=\cos^2 4a:\frac{\cos^2 2a-\sin^2 2a}{\sin 2a\cos 2a}=\cos^2 4a:\frac{\cos 4a}{\frac12\sin 4a}$$

$$=\cos^2 4a\cdot\frac{2\sin 4a}{\cos 4a}=\frac12\sin 4a\cos 4a=\frac18\sin 8a.$$

Ответ: 1) $$\tg a$$; 2) $$2\sin 3a$$; 3) $$2$$; 4) $$0$$; 5) $$1$$; 6) $$\cos a$$; 7) $$2$$; 8) $$\frac18\sin 8a$$.