Упр.42.44 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 42.44. Найдите наибольшее значение выражения cos(a)+sin(a).

Преобразуем выражение:

$$\cos a+\sin a=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\cos a+\sin \frac{\pi}{4}\sin a\right)=\sqrt{2}\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right).$$

Так как

$$-1\le \cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$

то

$$-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\cos\left(a-\frac{\pi}{4}\right)\le \sqrt{2}.$$

Следовательно, наибольшее значение выражения равно $$\sqrt{2}$$.

Ответ

$$\sqrt{2}$$