Упр.42.43 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   1) $$\sin\alpha\sin\beta\left(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta\right)=\sin(\alpha+\beta);$$
   
   2) $$\frac{2\sin\alpha\cos\beta-\sin(\alpha-\beta)}{\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta}=\operatorname{tg}(\alpha+\beta);$$
   
   3) $$\frac{\sqrt{2}\cos\alpha-2\cos\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)-\sqrt{2}\sin\alpha}=\operatorname{tg}\alpha.$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin a \cdot \sin \beta \cdot (\ctg a + \ctg \beta) = \sin a \cdot \sin \beta \cdot \left(\frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}\right)$$

$$= \sin \beta \cos a + \sin a \cos \beta = \sin(a+\beta).$$

Следовательно, тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\frac{2\sin a \cos \beta — \sin(a-\beta)}{\cos(a-\beta)-2\sin a \sin \beta} = \frac{2\sin a \cos \beta — (\sin a \cos \beta — \cos a \sin \beta)}{\cos a \cos \beta + \sin a \sin \beta — 2\sin a \sin \beta}$$

$$= \frac{\sin a \cos \beta + \cos a \sin \beta}{\cos a \cos \beta — \sin a \sin \beta} = \frac{\sin(a+\beta)}{\cos(a+\beta)} = \tg(a+\beta).$$

Тождество доказано.

3) Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sqrt{2}\cos a — 2\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{2\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\sqrt{2}\sin a} = \frac{\sqrt{2}\cos a — 2\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos a — \sin\frac{\pi}{4}\sin a\right)}{2\left(\sin\frac{\pi}{4}\cos a + \cos\frac{\pi}{4}\sin a\right)-\sqrt{2}\sin a}$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ получаем:

$$\frac{\sqrt{2}\cos a — (\sqrt{2}\cos a — \sqrt{2}\sin a)}{(\sqrt{2}\cos a + \sqrt{2}\sin a)-\sqrt{2}\sin a} = \frac{\sqrt{2}\sin a}{\sqrt{2}\cos a} = \tg a.$$

Тождество доказано.