Упр.42.41 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) sin(?/2-a)+cos(?-a)+tg(3?/2+a)+ctg(?+a);
2) sin(a+?/2)sin(?-a)+cos(a+?/2)cos(2?-a);
3) (sin(2?-a)tg(3?/2-a)ctg(?/2+a))/(cos(2?+a)tg(?+a));
4) ctg(a-3?/2)/(1-tg^2(a-3?))·(ctg^5(5?-a)-1)/tg(?/2+a).

1. $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+\cos(\pi-a)+\tg\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)+\ctg(\pi+a)$$

   Используем формулы приведения:
   $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\cos a,\quad \cos(\pi-a)=-\cos a,$$
   $$\tg\left(\frac{3\pi}{2}+a\right)=-\ctg a,\quad \ctg(\pi+a)=\ctg a.$$

   Тогда
   $$\cos a-\cos a-\ctg a+\ctg a=0.$$

2. $$\sin\left(a+\frac{\pi}{2}\right)\sin(\pi-a)+\cos\left(a+\frac{\pi}{2}\right)\cos(2\pi-a)$$

   Преобразуем:
   $$\sin\left(a+\frac{\pi}{2}\right)=\cos a,\quad \sin(\pi-a)=\sin a,$$
   $$\cos\left(a+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin a,\quad \cos(2\pi-a)=\cos a.$$

   Получаем
   $$\cos a\cdot \sin a+(-\sin a)\cdot \cos a=0.$$

3. $$\frac{\sin(2\pi-a)\tg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)\ctg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)}{\cos(2\pi+a)\tg(\pi+a)}$$

   Используем формулы:
   $$\sin(2\pi-a)=-\sin a,\quad \tg\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\ctg a,$$
   $$\ctg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\tg a,\quad \cos(2\pi+a)=\cos a,\quad \tg(\pi+a)=\tg a.$$

   Тогда
   $$\frac{(-\sin a)(-\ctg a)(-\tg a)}{\cos a\cdot \tg a} =\frac{-\sin a\cdot \ctg a\cdot \tg a}{\cos a\cdot \tg a} =\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \ctg a =\tg a\cdot \ctg a=1.$$

4. $$\frac{\ctg\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)}{1-\tg^2(a-3\pi)}\cdot \frac{\ctg^5(5\pi-a)-1}{\tg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)}$$

   Преобразуем выражения:
   $$\ctg\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)=-\tg a,\quad \tg(a-3\pi)=\tg a,$$
   $$\ctg(5\pi-a)=-\ctg a,\quad \tg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\ctg a.$$

   Тогда
   $$\frac{-\tg a}{1-\tg^2 a}\cdot \frac{(-\ctg a)^5-1}{-\ctg a} =\frac{-\tg a}{1-\tg^2 a}\cdot \frac{-\ctg^5 a-1}{-\ctg a}.$$

   Учитывая, что
   $$1-\tg^2 a=\frac{\ctg^2 a-1}{\ctg^2 a},$$
   после сокращений получаем
   $$1.$$

Ответ

1) $$0$$; 2) $$0$$; 3) $$1$$; 4) $$1$$.