Упр.42.40 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) 2cos^2(a)-3sin^2(a);
2) 4cos^2(a)-tg(a)ctg(a).

1) Преобразуем выражение:

$$ 2\cos^2 a-3\sin^2 a=2(1-\sin^2 a)-3\sin^2 a=2-5\sin^2 a. $$

Так как $$0\le \sin^2 a\le 1,$$ то

$$ -5\le -5\sin^2 a\le 0, $$

следовательно,

$$ -3\le 2-5\sin^2 a\le 2. $$

Значит, наименьшее значение равно $$-3,$$ а наибольшее — $$2.$$

2) Упростим выражение:

$$ 4\cos^2 a-\tg a\ctg a=4\cos^2 a-1. $$

Это выражение имеет смысл, когда $$\tg a$$ и $$\ctg a$$ определены, то есть при

$$ a\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\quad a\ne \pi k,\quad k\in \mathbb{Z}. $$

При этом $$0\le \cos^2 a\le 1,$$ значит

$$ -1\le 4\cos^2 a-1\le 3. $$

Но значения $$-1$$ и $$3$$ достигаются только при $$\cos a=0$$ и $$\cos a=\pm 1,$$ а в этих случаях выражение $$\tg a\ctg a$$ не определено. Поэтому наибольшего и наименьшего значений выражение не имеет.

Ответ

1) $$-3,\ 2.$$
2) таких значений нет.