Упр.42.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) cos(x)=a+4; 2) sin(x)=6a-a^2-10?

1) Для того чтобы уравнение $$\cos x=a+4$$ имело решение, правая часть должна принадлежать промежутку значений косинуса:

$$-1 \le a+4 \le 1.$$

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$$-5 \le a \le -3.$$

Следовательно,

$$a \in [-5;\,-3].$$

2) Для уравнения $$\sin x=6a-a^2-10$$ необходимо, чтобы

$$-1 \le 6a-a^2-10 \le 1.$$

Рассмотрим оба неравенства.

Из первого:

$$6a-a^2-10 \ge -1$$

$$-a^2+6a-9 \ge 0$$

$$a^2-6a+9 \le 0$$

$$\left(a-3\right)^2 \le 0.$$

Квадрат числа неотрицателен, значит это возможно только при

$$a-3=0,\quad a=3.$$

Проверим второе неравенство:

$$6a-a^2-10 \le 1$$

$$-a^2+6a-11 \le 0$$

$$a^2-6a+11 \ge 0.$$

Дискриминант:

$$D=36-44=-8<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$a^2-6a+11>0$$ при всех $$a$$, значит неравенство выполняется всегда.

Итак, остаётся только $$a=3.$$

Ответ

1) $$a \in [-5;\,-3]$$; 2) $$a=3$$.