Упр.42.33 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$ возможно равенство:

1. $$\cos(x)=a+4$$;
2. $$\sin(x)=6a-a^2-10$$?

Для того чтобы равенство с функцией синуса или косинуса имело решение, правая часть должна принадлежать промежутку $$[-1;1].$$

1)

$$\cos x=a+4.$$

Тогда должно выполняться:

$$-1\le a+4\le 1.$$

Вычтем $$4$$ из всех частей неравенства:

$$-5\le a\le -3.$$

Ответ: $$a\in[-5;-3].$$

2)

$$\sin x=6a-a^2-10.$$

Необходимо, чтобы

$$-1\le 6a-a^2-10\le 1.$$

Рассмотрим оба неравенства.

1) $$6a-a^2-10\ge -1,$$

$$-a^2+6a-9\ge 0,$$

$$a^2-6a+9\le 0,$$

$$\left(a-3\right)^2\le 0.$$

Квадрат числа неотрицателен, значит это возможно только при

$$a-3=0,\quad a=3.$$

2) $$6a-a^2-10\le 1,$$

$$-a^2+6a-11\le 0,$$

$$a^2-6a+11\ge 0.$$

Дискриминант:

$$D=(-6)^2-4\cdot 1\cdot 11=36-44=-8<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$a^2-6a+11>0$$ при всех $$a\in\mathbb R$$, следовательно, неравенство выполняется для всех действительных $$a$$.

Совместно оба условия дают:

$$a=3.$$

Ответ: 1) $$a\in[-5;-3]$$; 2) $$a=3.$$