Упр.42.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$\sqrt{x}-4x^{1/4}-5=0$$
2. $$x^{1/3}+3x^{1/6}=18$$
3. $$(x^2-4x+4)^{1/3}+2(x-2)^{1/3}-3=0$$
4. $$\frac{4-x}{2+\sqrt{x}}=8-x$$
5. $$\sqrt{\frac{x+3}{x-3}}-6\sqrt{\frac{x-3}{x+3}}+1=0$$
6. $$\sqrt{\frac{x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+x}{x}}=\frac{5}{2}$$
7. $$x^2-4x-\sqrt{x^2-4x-1}=3$$
8. $$5\sqrt{x^2+3x-1}=2x^2+6x+1$$

1) $$\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}-5=0.$$

Пусть $$y=\sqrt[4]{x},$$ тогда $$\sqrt{x}=y^2.$$ Получаем:

$$y^2-4y-5=0.$$

$$D=16+20=36,$$

$$y_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$

Тогда $$y_1=-1$$ не подходит, а $$y_2=5.$$

Следовательно,

$$\sqrt[4]{x}=5,\quad x=5^4=625.$$

Ответ: $$625.$$

2) $$\sqrt[3]{x}+3\sqrt[6]{x}=18.$$

Пусть $$y=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2.$$ Получаем:

$$y^2+3y-18=0.$$

$$D=9+72=81,$$

$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{2}.$$

Тогда $$y_1=-6$$ не подходит, а $$y_2=3.$$

Следовательно,

$$\sqrt[6]{x}=3,\quad x=3^6=729.$$

Ответ: $$729.$$

3) $$\sqrt[3]{x^2-4x+4}+2\sqrt[3]{x-2}-3=0.$$

Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,$$ то

$$\sqrt[3]{(x-2)^2}+2\sqrt[3]{x-2}-3=0.$$

Пусть $$y=\sqrt[3]{x-2},$$ тогда $$\sqrt[3]{(x-2)^2}=y^2.$$ Получаем:

$$y^2+2y-3=0.$$

$$D=4+12=16,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}.$$

Тогда $$y_1=-3,$$ $$y_2=1.$$

1) $$\sqrt[3]{x-2}=-3 \Rightarrow x-2=-27 \Rightarrow x=-25.$$

2) $$\sqrt[3]{x-2}=1 \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3.$$

Ответ: $$-25;\ 3.$$

4) $$\frac{4-x}{2+\sqrt{x}}=8-x.$$

Так как $$4-x=(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x}),$$ то

$$\frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}}=8-x.$$

Сокращаем:

$$2-\sqrt{x}=8-x.$$

Пусть $$y=\sqrt{x},$$ тогда

$$2-y=8-y^2,$$

$$y^2-y-6=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}.$$

Тогда $$y_1=-2$$ не подходит, а $$y_2=3.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x}=3,\quad x=9.$$

Ответ: $$9.$$

5) $$\sqrt{\frac{x+3}{x-3}}-6\sqrt{\frac{x-3}{x+3}}+1=0.$$

Пусть $$y=\sqrt{\frac{x+3}{x-3}},$$ тогда

$$y-\frac{6}{y}+1=0.$$

Умножим на $$y$$:

$$y^2+y-6=0.$$

$$D=1+24=25,$$

$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 5}{2}.$$

Тогда $$y_1=-3$$ не подходит, а $$y_2=2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{\frac{x+3}{x-3}}=2,$$

$$\frac{x+3}{x-3}=4,$$

$$x+3=4x-12,$$

$$3x=15,$$

$$x=5.$$

Ответ: $$5.$$

6) $$\sqrt{\frac{x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+x}{x}}=\frac{5}{2}.$$

Пусть $$y=\sqrt{\frac{x}{1+x}},$$ тогда $$\sqrt{\frac{1+x}{x}}=\frac{1}{y}.$$ Получаем:

$$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2y$$:

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Тогда $$y_1=\frac{1}{2},\quad y_2=2.$$

1) $$\sqrt{\frac{x}{1+x}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{1+x}=\frac{1}{4} \Rightarrow 4x=1+x \Rightarrow x=\frac{1}{3}.$$

2) $$\sqrt{\frac{x}{1+x}}=2 \Rightarrow \frac{x}{1+x}=4 \Rightarrow x=4(1+x) \Rightarrow x=-\frac{4}{3}.$$

Ответ: $$-\frac{4}{3};\ \frac{1}{3}.$$

7) $$x^2-4x-\sqrt{x^2-4x-1}=3.$$

Пусть $$y=\sqrt{x^2-4x-1},$$ тогда

$$y^2=x^2-4x-1,$$

$$x^2-4x=y^2+1.$$

Подставим в уравнение:

$$y^2+1-y=3,$$

$$y^2-y-2=0.$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{1\pm 3}{2}.$$

Тогда $$y_1=-1$$ не подходит, а $$y_2=2.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2-4x-1}=2,$$

$$x^2-4x-1=4,$$

$$x^2-4x-5=0.$$

$$D=16+20=36,$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 6}{2}.$$

Получаем $$x_1=-1,\ x_2=5.$$

Ответ: $$-1;\ 5.$$

8) $$5\sqrt{x^2+3x-1}=2x^2+6x+1.$$

Так как $$2x^2+6x+1=2(x^2+3x-1)+3,$$ то

$$5\sqrt{x^2+3x-1}=2(x^2+3x-1)+3.$$

Пусть $$y=\sqrt{x^2+3x-1},$$ тогда $$y^2=x^2+3x-1.$$ Получаем:

$$5y=2y^2+3,$$

$$2y^2-5y+3=0.$$

$$D=25-24=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 1}{4}.$$

Тогда $$y_1=1,\quad y_2=\frac{3}{2}.$$

1) $$\sqrt{x^2+3x-1}=1 \Rightarrow x^2+3x-1=1 \Rightarrow x^2+3x-2=0,$$

$$D=9+8=17,$$

$$x=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2}.$$

2) $$\sqrt{x^2+3x-1}=\frac{3}{2} \Rightarrow x^2+3x-1=\frac{9}{4},$$

$$4x^2+12x-13=0,$$

$$D=144+208=352=16\cdot 22,$$

$$x=\frac{-12\pm 4\sqrt{22}}{8}=\frac{-3\pm \sqrt{22}}{2}.$$

Ответ: $$\frac{-3\pm \sqrt{17}}{2};\ \frac{-3\pm \sqrt{22}}{2}.$$