Упр.42.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) vx-4x^(1/4)-5=0; 5) v((x+3)/(x-3))-6v((x-3)/(x+3))+1=0;
2) x^(1/3)+3x^(1/6)=18; 6) v(x/(1+x))+v((1+x)/x)=5/2;
3) (x^2-4x+4)^(1/3)+2(x-2)^(1/3)-3=0; 7) x^2-4x-v(x^2-4x-1)=3;
4) (4-x)/(2+vx)=8-x; 8) 5v(x^2+3x-1)=2x^2+6x+1.

1. $$\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}-5=0$$
   
   Пусть $$y=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=y^2$$. Получаем:
   $$y^2-4y-5=0$$
   $$D=16+20=36$$
   $$y_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad y_2=\frac{4+6}{2}=5$$
   Так как $$y=\sqrt[4]{x}\ge 0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда
   $$\sqrt[4]{x}=5,\quad x=5^4=625.$$
2. $$\sqrt[3]{x}+3\sqrt[6]{x}=18$$
   
   Пусть $$y=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=y^2$$. Получаем:
   $$y^2+3y-18=0$$
   $$D=9+72=81$$
   $$y_1=\frac{-3-9}{2}=-6,\quad y_2=\frac{-3+9}{2}=3$$
   Так как $$y=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, значение $$y=-6$$ не подходит. Тогда
   $$\sqrt[6]{x}=3,\quad x=3^6=729.$$
3. $$(x^2-4x+4)^{1/3}+2(x-2)^{1/3}-3=0$$
   
   Заметим, что
   $$(x^2-4x+4)^{1/3}=\sqrt[3]{(x-2)^2}=\left(\sqrt[3]{x-2}\right)^2.$$
   Пусть $$y=\sqrt[3]{x-2}$$, тогда:
   $$y^2+2y-3=0$$
   $$D=4+12=16$$
   $$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad y_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
   Тогда:
   $$\sqrt[3]{x-2}=-3 \Rightarrow x-2=-27 \Rightarrow x=-25,$$
   $$\sqrt[3]{x-2}=1 \Rightarrow x-2=1 \Rightarrow x=3.$$
4. $$\frac{4-x}{2+\sqrt{x}}=8-x$$
   
   Область определения: $$x\ge 0$$, $$2+\sqrt{x}\ne 0$$, что при $$x\ge 0$$ выполняется.
   
   Преобразуем числитель:
   $$4-x=(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})$$
   Тогда:
   $$2-\sqrt{x}=8-x$$
   Пусть $$y=\sqrt{x}$$, тогда:
   $$2-y=8-y^2$$
   $$y^2-y-6=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$y_1=\frac{1-5}{2}=-2,\quad y_2=\frac{1+5}{2}=3$$
   Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0$$, подходит только $$y=3$$. Тогда
   $$x=3^2=9.$$
5. $$\sqrt{\frac{x+3}{x-3}}-6\sqrt{\frac{x-3}{x+3}}+1=0$$
   
   Пусть
   $$y=\sqrt{\frac{x+3}{x-3}}.$$
   Тогда
   $$\sqrt{\frac{x-3}{x+3}}=\frac{1}{y}$$
   и получаем:
   $$y-\frac{6}{y}+1=0$$
   $$y^2+y-6=0$$
   $$D=1+24=25$$
   $$y_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\quad y_2=\frac{-1+5}{2}=2$$
   Так как $$y\ge 0$$, значение $$y=-3$$ не подходит. Тогда
   $$\sqrt{\frac{x+3}{x-3}}=2$$
   $$\frac{x+3}{x-3}=4$$
   $$x+3=4x-12$$
   $$3x=15$$
   $$x=5.$$
6. $$\sqrt{\frac{x}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+x}{x}}=\frac{5}{2}$$
   
   Пусть
   $$y=\sqrt{\frac{x}{1+x}}.$$
   Тогда
   $$\sqrt{\frac{1+x}{x}}=\frac{1}{y}$$
   и
   $$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}.$$
   Умножим на $$2y$$:
   $$2y^2-5y+2=0$$
   $$D=25-16=9$$
   $$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2},\quad y_2=\frac{5+3}{4}=2$$
   Тогда:
   $$\sqrt{\frac{x}{1+x}}=\frac{1}{2} \Rightarrow \frac{x}{1+x}=\frac{1}{4} \Rightarrow 4x=1+x \Rightarrow x=\frac{1}{3},$$
   $$\sqrt{\frac{x}{1+x}}=2 \Rightarrow \frac{x}{1+x}=4 \Rightarrow x=4+4x \Rightarrow x=-\frac{4}{3}.$$
7. $$x^2-4x-\sqrt{x^2-4x-1}=3$$
   
   Пусть
   $$y=\sqrt{x^2-4x-1}.$$
   Тогда
   $$x^2-4x=y^2+1.$$
   Подставим:
   $$y^2+1-y=3$$
   $$y^2-y-2=0$$
   $$D=1+8=9$$
   $$y_1=\frac{1-3}{2}=-1,\quad y_2=\frac{1+3}{2}=2$$
   Так как $$y\ge 0$$, значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда
   $$\sqrt{x^2-4x-1}=2$$
   $$x^2-4x-1=4$$
   $$x^2-4x-5=0$$
   $$D=16+20=36$$
   $$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,\quad x_2=\frac{4+6}{2}=5.$$
8. $$5\sqrt{x^2+3x-1}=2x^2+6x+1$$
   
   Обозначим
   $$y=\sqrt{x^2+3x-1}.$$
   Тогда
   $$x^2+3x=y^2+1,$$
   и уравнение принимает вид:
   $$5y=2(y^2+1)+1$$
   $$5y=2y^2+3$$
   $$2y^2-5y+3=0$$
   $$D=25-24=1$$
   $$y_1=\frac{5-1}{4}=1,\quad y_2=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}$$
   Тогда:
   $$\sqrt{x^2+3x-1}=1 \Rightarrow x^2+3x-1=1 \Rightarrow x^2+3x-2=0,$$
   $$D=9+8=17,\quad x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2};$$
   $$\sqrt{x^2+3x-1}=\frac{3}{2} \Rightarrow x^2+3x-1=\frac{9}{4}$$
   $$4x^2+12x-13=0,$$
   $$D=144+208=352,$$
   $$x=\frac{-12\pm\sqrt{352}}{8}=\frac{-3\pm\sqrt{22}}{2}.$$

Ответ

1) $$625$$; 2) $$729$$; 3) $$-25,\ 3$$; 4) $$9$$; 5) $$5$$; 6) $$-\frac{4}{3},\ \frac{1}{3}$$; 7) $$-1,\ 5$$; 8) $$\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2},\ \frac{-3\pm\sqrt{22}}{2}$$.