Упр.42.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) v(4x+20)=x+2; 6) v(x+11)-v(3x+7)=2;
2) v(6-x)=3x-4; 7) v(1-2x)-3=v(16+x);
3) v(4+2x-x^2)=x-2; 8) v(3-x)+v(x-2)=1;
4) v(2x^2-14x+13)=5-x; 9) v(2x+5)+v(3-x)=4.
5) v(1-v(x^4-x^2))=x-1;

Подробный ответ

$$\sqrt{4x+20}=x+2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4x+20=x^2+4x+4$$
$$x^2=16$$
$$x=\pm 4$$
Проверка ОДЗ: $$x+2\ge 0$$, значит подходит только $$x=4$$.
$$\sqrt{6-x}=3x-4$$
Возведём обе части в квадрат:
$$6-x=9x^2-24x+16$$
$$9x^2-23x+10=0$$
$$D=23^2-4\cdot 9\cdot 10=169$$
$$x_1=\frac{23-13}{18}=\frac59,\quad x_2=\frac{23+13}{18}=2$$
Проверка ОДЗ: $$6-x\ge 0$$ и $$3x-4\ge 0$$. Подходит только $$x=2$$.
$$\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$$
Возведём обе части в квадрат:
$$4+2x-x^2=x^2-4x+4$$
$$2x^2-6x=0$$
$$2x(x-3)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=3$$
Проверка показывает, что оба корня подходят.
$$\sqrt{2x^2-14x+13}=5-x$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x^2-14x+13=25-10x+x^2$$
$$x^2-4x-12=0$$
$$D=64$$
$$x_1=-2,\quad x_2=6$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=-2$$.
$$\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}=x-1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$1-\sqrt{x^4-x^2}=x^2-2x+1$$
$$\sqrt{x^4-x^2}=2x-x^2$$
Возведём ещё раз в квадрат:
$$x^4-x^2=(2x-x^2)^2$$
$$x^4-x^2=4x^2-4x^3+x^4$$
$$4x^3-5x^2=0$$
$$x^2(4x-5)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=\frac54$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=\frac54$$.
$$\sqrt{x+11}-\sqrt{3x+7}=2$$
$$\sqrt{x+11}=2+\sqrt{3x+7}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$x+11=4+4\sqrt{3x+7}+3x+7$$
$$-2x=4\sqrt{3x+7}$$
$$-x=2\sqrt{3x+7}$$
Возведём в квадрат:
$$x^2=4(3x+7)$$
$$x^2-12x-28=0$$
$$D=256$$
$$x_1=-2,\quad x_2=14$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=-2$$.
$$\sqrt{1-2x}-3=\sqrt{16+x}$$
$$\sqrt{1-2x}=3+\sqrt{16+x}$$
Возведём обе части в квадрат:
$$1-2x=9+6\sqrt{16+x}+16+x$$
$$-24-3x=6\sqrt{16+x}$$
$$-8-x=2\sqrt{16+x}$$
Возведём в квадрат:
$$(-8-x)^2=4(16+x)$$
$$x^2+12x=0$$
$$x(x+12)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-12$$
Проверка показывает, что подходит только $$x=-12$$.
$$\sqrt{3-x}+\sqrt{x-2}=1$$
Возведём обе части в квадрат:
$$3-x+2\sqrt{(3-x)(x-2)}+x-2=1$$
$$2\sqrt{(3-x)(x-2)}=0$$
$$ (3-x)(x-2)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=3$$
Оба значения подходят.
$$\sqrt{2x+5}+\sqrt{3-x}=4$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2x+5+2\sqrt{(2x+5)(3-x)}+3-x=16$$
$$2\sqrt{(2x+5)(3-x)}=8-x$$
Возведём в квадрат:
$$4(2x+5)(3-x)=(8-x)^2$$
$$9x^2-20x+4=0$$
$$D=256$$
$$x_1=\frac29,\quad x_2=2$$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ и исходному уравнению.