Упр.42.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите уравнение:

1. 1) $$\sqrt{4x+20}=x+2$$;
2. 6) $$\sqrt{x+11}-\sqrt{3x+7}=2$$;
3. 2) $$\sqrt{6-x}=3x-4$$;
4. 7) $$\sqrt{1-2x}-3=\sqrt{16+x}$$;
5. 3) $$\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$$;
6. 8) $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x-2}=1$$;
7. 4) $$\sqrt{2x^2-14x+13}=5-x$$;
8. 9) $$\sqrt{2x+5}+\sqrt{3-x}=4$$;
9. 5) $$\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}=x-1$$.

1) $$\sqrt{4x+20}=x+2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4x+20=x^2+4x+4$$

$$x^2=16$$

$$x=\pm 4$$

Проверим область допустимых значений: $$4x+20\ge 0 \Rightarrow x\ge -5,$$ $$x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2.$$

Подходит только $$x=4$$.

2) $$\sqrt{6-x}=3x-4$$

Возведём обе части в квадрат:

$$6-x=9x^2-24x+16$$

$$9x^2-23x+10=0$$

$$D=23^2-4\cdot 9\cdot 10=169$$

$$x_1=\frac{23-13}{18}=\frac{5}{9},\qquad x_2=\frac{23+13}{18}=2$$

Проверка ОДЗ: $$6-x\ge 0 \Rightarrow x\le 6,$$ $$3x-4\ge 0 \Rightarrow x\ge \frac{4}{3}.$$

Подходит только $$x=2$$.

3) $$\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4+2x-x^2=x^2-4x+4$$

$$2x^2-6x=0$$

$$2x(x-3)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=3$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=3$$.

4) $$\sqrt{2x^2-14x+13}=5-x$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2x^2-14x+13=25-10x+x^2$$

$$x^2-4x-12=0$$

$$D=16+48=64$$

$$x_1=\frac{4-8}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{4+8}{2}=6$$

Проверка даёт, что подходит только $$x=-2$$.

5) $$\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}=x-1$$

Возведём обе части в квадрат:

$$1-\sqrt{x^4-x^2}=x^2-2x+1$$

$$\sqrt{x^4-x^2}=2x-x^2$$

Возведём ещё раз в квадрат:

$$x^4-x^2=(2x-x^2)^2$$

$$x^4-x^2=4x^2-4x^3+x^4$$

$$4x^3-5x^2=0$$

$$x^2(4x-5)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=\frac{5}{4}$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=\frac{5}{4}$$.

6) $$\sqrt{x+11}-\sqrt{3x+7}=2$$

Перенесём один корень:

$$\sqrt{x+11}=2+\sqrt{3x+7}$$

Возведём в квадрат:

$$x+11=4+4\sqrt{3x+7}+3x+7$$

$$-2x=4\sqrt{3x+7}$$

$$-x=2\sqrt{3x+7}$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=4(3x+7)$$

$$x^2-12x-28=0$$

$$D=256$$

$$x_1=-2,\qquad x_2=14$$

По ОДЗ и проверке подходит только $$x=-2$$.

7) $$\sqrt{1-2x}-3=\sqrt{16+x}$$

Перенесём число:

$$\sqrt{1-2x}=3+\sqrt{16+x}$$

Возведём в квадрат:

$$1-2x=9+6\sqrt{16+x}+16+x$$

$$-24-3x=6\sqrt{16+x}$$

$$-8-x=2\sqrt{16+x}$$

Возведём в квадрат:

$$(-8-x)^2=4(16+x)$$

$$x^2+12x=0$$

$$x(x+12)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=-12$$

Проверка показывает, что подходит только $$x=-12$$.

8) $$\sqrt{3-x}+\sqrt{x-2}=1$$

Возведём в квадрат:

$$3-x+2\sqrt{(3-x)(x-2)}+x-2=1$$

$$2\sqrt{(3-x)(x-2)}=0$$

$$(3-x)(x-2)=0$$

$$x=2 \text{ или } x=3$$

Оба значения подходят.

9) $$\sqrt{2x+5}+\sqrt{3-x}=4$$

Перенесём один корень и возведём в квадрат:

$$2\sqrt{(2x+5)(3-x)}=8-x-(2x+5)$$

После преобразований получаем:

$$9x^2-20x+4=0$$

$$D=256$$

$$x_1=\frac{2}{9},\qquad x_2=2$$

Оба значения удовлетворяют ОДЗ и уравнению.

Ответ: 1) $$4$$; 2) $$2$$; 3) $$3$$; 4) $$-2$$; 5) $$\frac{5}{4}$$; 6) $$-2$$; 7) $$-12$$; 8) $$2,\,3$$; 9) $$\frac{2}{9},\,2$$.