Упр.42.30 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) ((m-n)/(m^(3/4)+m^(1/2)n^(1/4))-(m^(1/2)-n^(1/2))/(m^(1/4)+n^(1/4)))(n/m)^(-1/2)=m^(1/4)-n^(1/4);
2) (a+b)/(a^(2/3)-a^(1/3)b^(1/3)+b^(2/3))-(a-b)/(a^(2/3)+a^(1/3)b^(1/3)+b^(2/3))-(a^(2/3)-b^(2/3))/(a^(1/3)-b^(1/3))=b^(1/3)-a^(1/3);
3) (9/(a+8)-(a^(1/3)+2)/(a^(2/3)-2a^(1/3)+4))·(a^(4/3)+8a^(1/3))/(1-a^(2/3))+(5-a^(2/3))/(1+a^(1/3))=5;
4) ((m^(3/4)-n)/(m^(1/4)-n^(1/3))-3(m^3 n^4)^(1/12)):((m^(3/4)+n)/(m^(1/4)+n^(1/3))-n^(2/3))^2=1/m^(1/2).

Подробный ответ

Преобразуем выражение, вынеся степени в удобном виде:
$$m^{3/4}=m^{1/2}\cdot m^{1/4}, \qquad n^{1/2}=n^{1/4}\cdot n^{1/4}.$$
Тогда
$$ \left(\frac{m-n}{m^{3/4}+m^{1/2}n^{1/4}}-\frac{m^{1/2}-n^{1/2}}{m^{1/4}+n^{1/4}}\right)\left(\frac{n}{m}\right)^{-1/2} $$
$$ =\left(\frac{m-n}{m^{1/2}(m^{1/4}+n^{1/4})}-\frac{m^{1/2}(m^{1/4}-n^{1/4})}{m^{1/2}(m^{1/4}+n^{1/4})}\right)\left(\frac{m}{n}\right)^{1/2}. $$
Приведём к общему знаменателю:
$$ =\frac{m-n-m+m^{1/2}n^{1/2}}{m^{1/2}(m^{1/4}+n^{1/4})}\cdot \frac{m^{1/2}}{n^{1/2}} =\frac{m^{1/2}n^{1/2}-n}{n^{1/2}(m^{1/4}+n^{1/4})}. $$
В числителе и знаменателе выделим множители:
$$ =\frac{n^{1/2}(m^{1/2}-n^{1/2})}{n^{1/2}(m^{1/4}+n^{1/4})} =\frac{(m^{1/4}-n^{1/4})(m^{1/4}+n^{1/4})}{m^{1/4}+n^{1/4}} =m^{1/4}-n^{1/4}. $$
Тождество доказано.
Используем формулы разложения:
$$ a+b=(a^{1/3}+b^{1/3})(a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}), $$
$$ a-b=(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}), $$
$$ a^{2/3}-b^{2/3}=(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3}). $$
Тогда
$$ \frac{a+b}{a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}} -\frac{a-b}{a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}} -\frac{a^{2/3}-b^{2/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}} $$
$$ =(a^{1/3}+b^{1/3})-(a^{1/3}-b^{1/3})-(a^{1/3}+b^{1/3}) =b^{1/3}-a^{1/3}. $$
Тождество доказано.
Преобразуем дроби:
$$ a+8=(a^{1/3}+2)(a^{2/3}-2a^{1/3}+4), $$
$$ a^{4/3}+8a^{1/3}=a^{1/3}(a+8), $$
$$ 1-a^{2/3}=(1-a^{1/3})(1+a^{1/3}). $$
Тогда
$$ \left(\frac{9}{a+8}-\frac{a^{1/3}+2}{a^{2/3}-2a^{1/3}+4}\right)\cdot \frac{a^{4/3}+8a^{1/3}}{1-a^{2/3}}+\frac{5-a^{2/3}}{1+a^{1/3}} $$
$$ =\left(\frac{9-(a^{1/3}+2)^2}{a+8}\right)\cdot \frac{a^{1/3}(a+8)}{1-a^{2/3}}+\frac{5-a^{2/3}}{1+a^{1/3}} $$
$$ =\frac{5-a^{2/3}-4a^{1/3}}{1-a^{2/3}}\cdot a^{1/3}+\frac{5-a^{2/3}}{1+a^{1/3}}. $$
После приведения к общему знаменателю получаем
$$ \frac{5(1-a^{2/3})}{1-a^{2/3}}=5. $$
Тождество доказано.
Обозначим
$$ x=m^{1/4}, \qquad y=n^{1/3}. $$
Тогда
$$ m^{3/4}=x^3,\qquad n=y^3,\qquad (m^3n^4)^{1/12}=m^{1/4}n^{1/3}=xy. $$
Исходное выражение принимает вид
$$ \left(\frac{x^3-y^3}{x-y}-3xy\right):\left(\frac{x^3+y^3}{x+y}-y^2\right)^2. $$
Используем формулы:
$$ \frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2,\qquad \frac{x^3+y^3}{x+y}=x^2-xy+y^2. $$
Тогда
$$ \left(x^2+xy+y^2-3xy\right):\left(x^2-xy+y^2-y^2\right)^2 $$
$$ =(x^2-2xy+y^2):(x^2-xy)^2 =\frac{(x-y)^2}{x^2(x-y)^2} =\frac{1}{x^2} =\frac{1}{m^{1/2}}. $$
Тождество доказано.