Упр.42.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) (va-vb)/(a^(1/4)+b^(1/4)); 2) (a^(1/6)-2)/(a^(1/3)-4);
3) (m-(m^3)^(1/4))/(vm-m^(1/4)); 4) ((x^2)^(1/3)+3x^(1/3)+9)/(x-27).

Подробный ответ

$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$

Представим числитель как разность квадратов:
$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\left(\sqrt[4]{a}\right)^2-\left(\sqrt[4]{b}\right)^2$$
Тогда
$$\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}=\frac{\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}.$$
$$\frac{\sqrt[6]{a}-2}{\sqrt[3]{a}-4}$$

Обозначим $$t=\sqrt[6]{a}$$, тогда $$\sqrt[3]{a}=t^2$$. Получаем:
$$\frac{t-2}{t^2-4}=\frac{t-2}{(t-2)(t+2)}=\frac{1}{t+2}.$$
Возвращаясь к переменной $$a$$, имеем:
$$\frac{1}{\sqrt[6]{a}+2}.$$
$$\frac{m-\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt{m}-\sqrt[4]{m}}$$

Пусть $$t=\sqrt[4]{m}$$, тогда $$\sqrt{m}=t^2$$ и $$\sqrt[4]{m^3}=t^3$$. Тогда
$$\frac{m-\sqrt[4]{m^3}}{\sqrt{m}-\sqrt[4]{m}}=\frac{t^4-t^3}{t^2-t}=\frac{t^3(t-1)}{t(t-1)}=t^2=\sqrt{m}.$$
$$\frac{\sqrt[3]{x^2}+3\sqrt[3]{x}+9}{x-27}$$

Обозначим $$t=\sqrt[3]{x}$$, тогда $$x=t^3$$ и $$\sqrt[3]{x^2}=t^2$$. Получаем:
$$\frac{t^2+3t+9}{t^3-27}=\frac{t^2+3t+9}{(t-3)(t^2+3t+9)}=\frac{1}{t-3}.$$
Значит,
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}-3}.$$