Упр.42.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Вынесите множитель из-под знака корня:

1. $$\left(a^{11}\right)^{\frac{1}{4}}$$;
2. $$\left(162m^{10}n^7\right)^{\frac{1}{4}}$$;
3. $$\left(-243y^5\right)^{\frac{1}{4}}$$;
4. $$\left(-b^{16}\right)^{\frac{1}{3}}$$;
5. $$\left(96x^{12}y^{16}\right)^{\frac{1}{5}}$$;
6. $$\left(a^{14}b^9\right)^{\frac{1}{6}}$$.

1) $$\sqrt[4]{a^{11}}=\sqrt[4]{a^8\cdot a^3}=\sqrt[4]{(a^2)^4\cdot a^3}=a^2\sqrt[4]{a^3}.$$

2) $$\sqrt[3]{-b^{16}}=\sqrt[3]{(-b)^{15}\cdot b}=\sqrt[3]{(-b)^3\cdot(-b)^{12}\cdot b}=-b^5\sqrt[3]{b}.$$

3) $$\sqrt[4]{162m^{10}n^7}=\sqrt[4]{2\cdot 3^4\cdot m^8\cdot m^2\cdot n^4\cdot n^3}$$
$$=3mn\sqrt[4]{2m^2n^3}.$$

4) $$\sqrt[5]{96x^{12}y^{16}}=\sqrt[5]{3\cdot 2^5\cdot x^{10}\cdot x^2\cdot y^{15}\cdot y}$$
$$=2x^2y^3\sqrt[5]{3x^2y}.$$

5) $$\sqrt[4]{-243y^5}=\sqrt[4]{-3y\cdot 3^4\cdot y^4}=3|y|\sqrt[4]{-3y}.$$

Так как подкоренное выражение неотрицательно, то $$-243y^5\ge 0,$$ значит $$y\le 0,$$ поэтому $$|y|=-y.$$ Тогда

$$\sqrt[4]{-243y^5}=-3y\sqrt[4]{-3y}.$$

6) $$\sqrt[6]{a^{14}b^9}=\sqrt[6]{a^{12}\cdot a^2\cdot b^6\cdot b^3}=\sqrt[6]{(a^2)^6\cdot b^6\cdot a^2b^3}.$$

Так как корень чётной степени, то $$a^{14}b^9\ge 0.$$ Выносим полный шестой квадрат:

$$\sqrt[6]{a^{14}b^9}=|a^2b|\sqrt[6]{a^2b^3}=a^2|b|\sqrt[6]{a^2b^3}.$$

Если дополнительно известно, что $$b\ge 0,$$ то $$|b|=b,$$ и тогда

$$\sqrt[6]{a^{14}b^9}=a^2b\sqrt[6]{a^2b^3}.$$

Ответ

1) $$a^2\sqrt[4]{a^3};$$ 2) $$-b^5\sqrt[3]{b};$$ 3) $$3mn\sqrt[4]{2m^2n^3};$$ 4) $$2x^2y^3\sqrt[5]{3x^2y};$$ 5) $$-3y\sqrt[4]{-3y};$$ 6) $$a^2|b|\sqrt[6]{a^2b^3}.$$