Упр.42.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите область значений функции:

1) $$f(x)=\sqrt{x}+1$$; 2) $$f(x)=\sqrt{x}-2$$; 3) $$f(x)=3-x^2$$; 4) $$f(x)=x^2+2$$; 5) $$f(x)=5+|x|$$; 6) $$h(x)=\sqrt{x^2+4}-5$$; 7) $$f(x)=\sqrt{-x^2}$$; 8) $$f(x)=\sqrt{x-3}-\sqrt{3-x}$$; 9) $$f(x)=\sqrt{1-x^2}$$; 10) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$.

1) $$f(x)=\sqrt{x}+1$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$f(x)=\sqrt{x}+1\ge 1.$$

Ответ: $$E(f)=[1;+\infty).$$

2) $$f(x)=\sqrt{x}-2$$

Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$f(x)=\sqrt{x}-2\ge -2.$$

Ответ: $$E(f)=[-2;+\infty).$$

3) $$g(x)=3-x^2$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$-x^2\le 0,$$ значит

$$g(x)=3-x^2\le 3.$$

Ответ: $$E(g)=(-\infty;3].$$

4) $$f(x)=x^2+2$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то

$$f(x)=x^2+2\ge 2.$$

Ответ: $$E(f)=[2;+\infty).$$

5) $$\varphi(x)=5+|x|$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ то

$$\varphi(x)=5+|x|\ge 5.$$

Ответ: $$E(\varphi)=[5;+\infty).$$

6) $$h(x)=\sqrt{x^2+4}-5$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2+4\ge 4,$$ следовательно,

$$\sqrt{x^2+4}\ge 2.$$

Тогда

$$h(x)=\sqrt{x^2+4}-5\ge -3.$$

Ответ: $$E(h)=[-3;+\infty).$$

7) $$f(x)=\sqrt{-x^2}$$

Выражение имеет смысл, если

$$-x^2\ge 0,$$

то есть

$$x^2\le 0.$$

Это возможно только при $$x=0.$$ Тогда

$$f(0)=\sqrt{-0^2}=\sqrt{0}=0.$$

Ответ: $$E(f)=\{0\}.$$

8) $$f(x)=\sqrt{x-3}-\sqrt{3-x}$$

Область определения задаётся условиями

$$x-3\ge 0,\qquad 3-x\ge 0.$$

Отсюда

$$x\ge 3,\qquad x\le 3,$$

значит, $$x=3.$$ Тогда

$$f(3)=\sqrt{3-3}-\sqrt{3-3}=0.$$

Ответ: $$E(f)=\{0\}.$$

9) $$f(x)=\sqrt{1-x^2}$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$1-x^2\le 1.$$ Кроме того, подкоренное выражение неотрицательно:

$$1-x^2\ge 0.$$

Следовательно,

$$0\le \sqrt{1-x^2}\le 1.$$

Ответ: $$E(f)=[0;1].$$

10) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$

Так как $$x^2\ge 0,$$ то

$$x^2+1\ge 1.$$

Значит,

$$0<\frac{1}{x^2+1}\le 1.$$

Ответ: $$E(f)=(0;1].$$