Упр.42.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Упростите выражение:
   1) $$(a^6)^{\frac{1}{6}}$$, если $$a?0$$;
   4) $$(81m^8n^{20}p^4)^{\frac{1}{4}}$$, если $$n?0$$, $$p?0$$;
   2) $$(b^4)^{\frac{1}{4}}$$, если $$b?0$$;
   5) $$1{,}4x(256x^{24})^{\frac{1}{8}}$$, если $$x?0$$;
   3) $$(c^7)^{\frac{1}{7}}$$;
   6) $$\frac{(a^{12}b^{24}c^{36})^{\frac{1}{12}}}{abc}$$, если $$a<0$$, $$c<0$$.

1) $$\sqrt[6]{a^6}=|a|.$$

Так как $$a \ge 0,$$ то $$|a|=a.$$

Ответ: $$a.$$

2) $$\sqrt[4]{b^4}=|b|.$$

Так как $$b \le 0,$$ то $$|b|=-b.$$

Ответ: $$-b.$$

3) $$\sqrt[7]{c^7}=c,$$ так как корень нечётной степени не требует учёта знака.

Ответ: $$c.$$

4) $$\sqrt[4]{81m^8n^{20}p^4}=\sqrt[4]{3^4\cdot m^8\cdot n^{20}\cdot p^4}.$$

Тогда

$$\sqrt[4]{81m^8n^{20}p^4}=3m^2n^5|p|.$$

Так как $$p \ge 0,$$ то $$|p|=p.$$

При $$n \le 0$$ имеем $$\sqrt[4]{n^{20}}=|n^5|=-n^5.$$

Следовательно,

$$\sqrt[4]{81m^8n^{20}p^4}=-3m^2n^5p.$$

Ответ: $$-3m^2n^5p.$$

5) $$1{,}4x\sqrt[8]{256x^{24}}=1{,}4x\sqrt[8]{2^8\cdot x^{8\cdot 3}}.$$

Тогда

$$1{,}4x\sqrt[8]{256x^{24}}=1{,}4x\cdot 2|x^3|.$$

Так как $$x \le 0,$$ то $$|x^3|=-x^3.$$

Получаем

$$1{,}4x\sqrt[8]{256x^{24}}=1{,}4x\cdot 2(-x^3)=-2{,}8x^4.$$

Ответ: $$-2{,}8x^4.$$

6) $$\frac{\sqrt[12]{a^{12}b^{24}c^{36}}}{abc}=\frac{\sqrt[12]{a^{12}}\sqrt[12]{b^{24}}\sqrt[12]{c^{36}}}{abc}.$$

Имеем

$$\sqrt[12]{a^{12}}=|a|,\quad \sqrt[12]{b^{24}}=b^2,\quad \sqrt[12]{c^{36}}=|c^3|.$$

Так как $$a<0$$ и $$c<0,$$ то $$|a|=-a,$$ $$|c^3|=-c^3.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt[12]{a^{12}b^{24}c^{36}}}{abc}=\frac{|a|b^2|c^3|}{abc}=\frac{(-a)b^2(-c^3)}{abc}=bc^2.$$

Ответ: $$bc^2.$$