Упр.42.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Решите неравенство:

1. а) $$\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)}<0$$;
   б) $$\frac{x-5}{(x+2)(x-3)^2}<0$$;
   в) $$\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)}?0$$;
   г) $$\frac{(2x+1)^2(x-2)}{x^5(x+1)^4}?0$$;
   д) $$\frac{(x+2)(x-5)}{(x-3)^2}?0$$;
   е) $$\frac{x^3-4x^2+3x}{x^2-5x+6}>0$$.

1) $$\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)}<0$$

Числитель $$\,(x+3)^2\ge 0\,$$, и он обращается в ноль при $$x=-3$$. Для строгого неравенства нуль числителя не подходит, поэтому нужно, чтобы знаменатель был отрицательным:

$$(x+2)(x-5)<0.$$

Отсюда

$$x\in(-2;5).$$

Ответ: $$x\in(-2;5).$$

2) $$\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)}\le 0$$

Так как $$\,(x+3)^2\ge 0\,$$, то неравенство выполняется, когда числитель равен нулю или знаменатель отрицателен. При этом $$x=-3$$ допустим, а точки $$x=-2$$ и $$x=5$$ исключаются.

$$(x+2)(x-5)\le 0,\quad x\ne -2,\; x\ne 5.$$

Получаем:

$$x\in\{-3\}\cup(-2;5).$$

Ответ: $$x\in\{-3\}\cup(-2;5).$$

3) $$\frac{(x+2)(x-5)}{(x-3)^2}\le 0$$

Знаменатель $$\,(x-3)^2>0\,$$ при $$x\ne 3$$, значит знак дроби определяется числителем. Нужно решить:

$$(x+2)(x-5)\le 0,\quad x\ne 3.$$

Тогда

$$x\in[-2;5],\quad x\ne 3.$$

Следовательно,

$$x\in[-2;3)\cup(3;5].$$

Ответ: $$x\in[-2;3)\cup(3;5].$$

4) $$\frac{x-5}{(x+2)(x-3)^2}<0$$

Так как $$\,(x-3)^2>0\,$$ при $$x\ne 3$$, то знак дроби определяется выражением $$\frac{x-5}{x+2}$$. Получаем:

$$\frac{x-5}{x+2}<0,\quad x\ne 3.$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$x\in(-2;5).$$

Точка $$x=3$$ не входит в решение, так как знаменатель обращается в ноль.

Итак,

$$x\in(-2;3)\cup(3;5).$$

Ответ: $$x\in(-2;3)\cup(3;5).$$

5) $$\frac{(2x+1)^2(x-2)}{x^5(x+1)^4}\ge 0$$

Преобразуем знак, учитывая, что $$\,(2x+1)^2\ge 0\,$$, а $$\,(x+1)^4>0\,$$ при $$x\ne -1$$. Тогда знак дроби определяется выражением

$$\frac{x-2}{x^5}\ge 0,\quad x\ne 0,\; x\ne -1,\; x\ne -\frac12.$$

Так как $$x^5$$ имеет тот же знак, что и $$x$$, получаем:

$$\frac{x-2}{x}\ge 0.$$

Решение этого неравенства:

$$x\in(-\infty;0)\cup[2;+\infty).$$

С учётом ограничений $$x\ne -1$$ и $$x\ne -\frac12$$:

$$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;0)\cup[2;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;0)\cup[2;+\infty).$$

6) $$\frac{x^3-4x^2+3x}{x^2-5x+6}>0$$

Разложим на множители:

$$x^3-4x^2+3x=x(x^2-4x+3)=x(x-1)(x-3),$$

$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$

Тогда

$$\frac{x(x-1)(x-3)}{(x-2)(x-3)}>0,\quad x\ne 2,\; x\ne 3.$$

Сокращаем на $$x-3$$, учитывая, что $$x\ne 3$$:

$$\frac{x(x-1)}{x-2}>0,\quad x\ne 3.$$

Критические точки: $$0,\;1,\;2$$, а также исключаем $$x=3$$. По знакам получаем:

$$x\in(0;1)\cup(2;+\infty),\quad x\ne 3.$$

Значит,

$$x\in(0;1)\cup(2;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ: $$x\in(0;1)\cup(2;3)\cup(3;+\infty).$$