Упр.42.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) (x+3)^2/((x+2)(x-5)) < 0; 4) (x-5)/((x+2)(x-3)^2) < 0; 2) (x+3)^2/((x+2)(x-5))?0; 5) (2x+1)^2 (x-2)/(x^5 (x+1)^4)?0; 3) (x+2)(x-5)/(x-3)^2?0; 6) (x^3-4x^2+3x)/(x^2-5x+6) > 0.

1. $$\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)}<0$$

   Числитель $$ (x+3)^2 \ge 0 $$, поэтому дробь отрицательна тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен, а числитель не равен нулю:
   $$ (x+2)(x-5)<0,\quad x\ne -3. $$ Отсюда $$ x\in(-2;5),\quad x\ne -3. $$

   $$x\in(-2;5).$$

2. $$\frac{(x+3)^2}{(x+2)(x-5)}\le 0$$

   Так как $$ (x+3)^2\ge 0 $$, то нужно, чтобы
   $$ (x+2)(x-5)\le 0,\quad x\ne -3. $$
   Тогда
   $$ x\in[-2;5],\quad x\ne -3. $$

   $$x\in[-2;-3)\cup(-3;5].$$

3. $$\frac{(x+2)(x-5)}{(x-3)^2}\le 0$$

   Знаменатель $$ (x-3)^2>0 $$ при $$ x\ne 3 $$, значит знак дроби определяется числителем:
   $$ (x+2)(x-5)\le 0,\quad x\ne 3. $$
   Отсюда
   $$ x\in[-2;5],\quad x\ne 3. $$

   $$x\in[-2;3)\cup(3;5].$$

4. $$\frac{x-5}{(x+2)(x-3)^2}<0$$

   Так как $$ (x-3)^2>0 $$ при $$ x\ne 3 $$, получаем
   $$ \frac{x-5}{x+2}<0,\quad x\ne 3. $$ Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков: $$ x\in(-2;5),\quad x\ne 3. $$

   $$x\in(-2;3)\cup(3;5).$$

5. $$\frac{(2x+1)^2(x-2)}{x^5(x+1)^4}\ge 0$$

   Множители $$ (2x+1)^2 $$ и $$ (x+1)^4 $$ неотрицательны, поэтому знак дроби определяется выражением
   $$ \frac{x-2}{x^5}=\frac{x-2}{x},\quad x\ne 0,\,-1,\,-\frac12. $$
   Решаем неравенство
   $$ \frac{x-2}{x}\ge 0. $$
   Получаем
   $$ x\in(-\infty;0)\cup[2;+\infty), $$
   но нужно исключить $$ x=-1 $$ и $$ x=-\frac12 $$.

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;0)\cup[2;+\infty).$$

6. $$\frac{x^3-4x^2+3x}{x^2-5x+6}>0$$

   Разложим на множители:
   $$x^3-4x^2+3x=x(x^2-4x+3)=x(x-1)(x-3),$$
   $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3).$$
   Тогда
   $$\frac{x(x-1)(x-3)}{(x-2)(x-3)}>0,\quad x\ne 2,\; x\ne 3.$$
   Сокращаем на $$x-3$$:
   $$\frac{x(x-1)}{x-2}>0,\quad x\ne 2,\; x\ne 3.$$
   По знакам получаем
   $$x\in(0;1)\cup(2;+\infty),$$
   при этом $$x=3$$ исключается.

   $$x\in(0;1)\cup(2;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

1) $$(-2;5)$$;
2) $$[-2;-3)\cup(-3;5]$$;
3) $$[-2;3)\cup(3;5]$$;
4) $$(-2;3)\cup(3;5)$$;
5) $$(-\infty;-1)\cup(-1;-\tfrac12)\cup(-\tfrac12;0)\cup[2;+\infty)$$;
6) $$ (0;1)\cup(2;3)\cup(3;+\infty) $$