Упр.42.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Найдите множество решений неравенства:

1. 1) $$\frac{x^2-5x+4}{x^2+6x+8}>0$$;
2. 4) $$\frac{3x+1}{x}?1$$;
3. 7) $$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}<4$$;
4. 2) $$\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-9}<0$$;
5. 5) $$\frac{5x-1}{x}?2$$;
6. 8) $$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}?2$$;
7. 3) $$x+\frac{1}{x}?\frac{5}{2}$$;
8. 6) $$\frac{x^3-8}{x^3-1}?\frac{x-2}{x-1}$$.

1) $$\frac{x^2-5x+4}{x^2+6x+8}>0$$

Разложим на множители:

$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4), \qquad x^2+6x+8=(x+2)(x+4).$$

Тогда

$$\frac{(x-1)(x-4)}{(x+2)(x+4)}>0.$$

Критические точки: $$x=-4,\,-2,\,1,\,4.$$ По знакам получаем:

$$x\in(-\infty;-4)\cup(-2;1)\cup(4;+\infty).$$

2) $$\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-9}<0$$

Разложим на множители:

$$x^3-3x^2+2x=x(x^2-3x+2)=x(x-1)(x-2),$$

$$x^2-9=(x-3)(x+3).$$

Тогда

$$\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x+3)}<0.$$

Критические точки: $$x=-3,\,0,\,1,\,2,\,3.$$ По знакам:

$$x\in(-\infty;-3)\cup(0;1)\cup(2;3).$$

3) $$x+\frac1x\ge \frac52$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$x-\frac52+\frac1x\ge 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2x^2-5x+2}{2x}\ge 0.$$

Разложим числитель:

$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2).$$

Тогда

$$\frac{(2x-1)(x-2)}{x}\ge 0.$$

Ответ:

$$x\in(0;\tfrac12]\cup[2;+\infty).$$

4) $$\frac{3x+1}{x}\le 1$$

Перенесём единицу влево:

$$\frac{3x+1}{x}-1\le 0,$$

$$\frac{2x+1}{x}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-\frac12,\;0.$$ Тогда

$$x\in\left[-\frac12;0\right).$$

5) $$\frac{5x-1}{x}\ge 2$$

$$\frac{5x-1}{x}-2\ge 0,$$

$$\frac{3x-1}{x}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=0,\;\frac13.$$ Следовательно,

$$x\in(-\infty;0)\cup\left[\frac13;+\infty\right).$$

6) $$\frac{x^3-8}{x^3-1}\le \frac{x-2}{x-1}$$

Разложим на множители:

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),$$

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$

Тогда

$$\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{x-2}{x-1}\le 0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x-2)\bigl((x^2+2x+4)-(x^2+x+1)\bigr)}{(x-1)(x^2+x+1)}\le 0,$$

$$\frac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x^2+x+1)}\le 0.$$

Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ получаем

$$\frac{(x-2)(x+3)}{x-1}\le 0.$$

Ответ:

$$x\in(-\infty;-3]\cup(1;2].$$

7) $$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}<4$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(x-2)+3(x-1)}{(x-1)(x-2)}<4,$$

$$\frac{5x-7}{(x-1)(x-2)}<4.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{5x-7-4(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}<0,$$

$$\frac{-4x^2+17x-15}{(x-1)(x-2)}<0,$$

$$\frac{4x^2-17x+15}{(x-1)(x-2)}>0.$$

Разложим числитель:

$$4x^2-17x+15=(4x-5)(x-3).$$

Критические точки: $$x=1,\;\frac54,\;2,\;3.$$ Тогда

$$x\in(-\infty;1)\cup\left(\frac54;2\right)\cup(3;+\infty).$$

8) $$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}\ge 2$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2(x+2)+3(x+1)}{(x+1)(x+2)}\ge 2,$$

$$\frac{5x+7}{(x+1)(x+2)}\ge 2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{5x+7-2(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}\ge 0,$$

$$\frac{-2x^2+x+3}{(x+1)(x+2)}\ge 0,$$

$$\frac{2x^2-x-3}{(x+1)(x+2)}\le 0.$$

Разложим числитель:

$$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1).$$

Тогда

$$\frac{(2x-3)(x+1)}{(x+1)(x+2)}\le 0.$$

С учётом ОДЗ $$x\ne -1,\,-2$$ получаем

$$\frac{2x-3}{x+2}\le 0.$$

Ответ:

$$x\in(-2;-1)\cup\left(-1;\frac32\right].$$