Упр.42.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) (x^2-5x+4)/(x^2+6x+8) > 0; 4) (3x+1)/x?1; 7) 2/(x-1)+3/(x-2) < 4; 2) (x^3-3x^2+2x)/(x^2-9) < 0; 5) (5x-1)/x?2; 8) 2/(x+1)+3/(x+2)?2. 3) x+1/x?5/2; 6) (x^3-8)/(x^3-1)?(x-2)/(x-1);
$$\frac{x^2-5x+4}{x^2+6x+8}>0$$
Разложим на множители:
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4), \qquad x^2+6x+8=(x+2)(x+4).$$
Тогда
$$\frac{(x-1)(x-4)}{(x+2)(x+4)}>0.$$
Критические точки: $$-4,\,-2,\,1,\,4.$$
По знакам получаем:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(-2;1)\cup(4;+\infty).$$$$\frac{x^3-3x^2+2x}{x^2-9}<0$$
$$x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2), \qquad x^2-9=(x-3)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{x(x-1)(x-2)}{(x-3)(x+3)}<0.$$ Критические точки: $$-3,\,0,\,1,\,2,\,3.$$ По знакам: $$x\in(-\infty;-3)\cup(0;1)\cup(2;3).$$$$x+\frac1x\ge \frac52$$
$$x\ne 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$x+\frac1x-\frac52\ge 0,$$
$$\frac{2x^2-5x+2}{2x}\ge 0.$$
Разложим числитель:
$$2x^2-5x+2=(2x-1)(x-2).$$
Тогда
$$\frac{(2x-1)(x-2)}{x}\ge 0.$$
Критические точки: $$0,\ \frac12,\ 2.$$
Получаем:
$$x\in(0;\tfrac12]\cup[2;+\infty).$$$$\frac{3x+1}{x}\le 1$$
$$x\ne 0.$$
$$\frac{3x+1}{x}-1\le 0,$$
$$\frac{2x+1}{x}\le 0.$$
Критические точки: $$-\frac12,\ 0.$$
Тогда
$$x\in\left[-\frac12;0\right).$$$$\frac{5x-1}{x}\ge 2$$
$$x\ne 0.$$
$$\frac{5x-1}{x}-2\ge 0,$$
$$\frac{3x-1}{x}\ge 0.$$
Критические точки: $$0,\ \frac13.$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;0)\cup\left[\frac13;+\infty\right).$$$$\frac{x^3-8}{x^3-1}\le \frac{x-2}{x-1}$$
$$x\ne 1.$$
Разложим разность кубов:
$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4), \qquad x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$
Тогда
$$\frac{(x-2)(x^2+2x+4)}{(x-1)(x^2+x+1)}-\frac{x-2}{x-1}\le 0,$$
$$\frac{(x-2)\bigl((x^2+2x+4)-(x^2+x+1)\bigr)}{(x-1)(x^2+x+1)}\le 0,$$
$$\frac{(x-2)(x+3)}{(x-1)(x^2+x+1)}\le 0.$$
Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x,$$ получаем
$$\frac{(x-2)(x+3)}{x-1}\le 0.$$
Критические точки: $$-3,\ 1,\ 2.$$
Ответ:
$$x\in(-\infty;-3]\cup(1;2].$$$$\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x-2}<4$$
$$x\ne 1,\ 2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2(x-2)+3(x-1)-4(x-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}<0,$$ $$\frac{-4x^2+17x-15}{(x-1)(x-2)}<0,$$ $$\frac{4x^2-17x+15}{(x-1)(x-2)}>0.$$
$$4x^2-17x+15=(4x-5)(x-3).$$
Критические точки: $$1,\ \frac54,\ 2,\ 3.$$
Тогда
$$x\in(-\infty;1)\cup\left(\frac54;2\right)\cup(3;+\infty).$$$$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x+2}\ge 2$$
$$x\ne -1,\ -2.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{2(x+2)+3(x+1)-2(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}\ge 0,$$
$$\frac{-2x^2+x+3}{(x+1)(x+2)}\ge 0,$$
$$\frac{2x^2-x-3}{(x+1)(x+2)}\le 0.$$
$$2x^2-x-3=(2x-3)(x+1).$$
Тогда
$$\frac{(2x-3)(x+1)}{(x+1)(x+2)}\le 0,$$
$$\frac{2x-3}{x+2}\le 0,\qquad x\ne -1,\ -2.$$
Критические точки: $$-2,\ -1,\ \frac32.$$
Получаем:
$$x\in(-2;-1)\cup\left(-1;\frac32\right].$$
Ответ
1) $$(-\infty;-4)\cup(-2;1)\cup(4;+\infty)$$
2) $$(-\infty;-3)\cup(0;1)\cup(2;3)$$
3) $$(0;\tfrac12]\cup[2;+\infty)$$
4) $$\left[-\tfrac12;0\right)$$
5) $$(-\infty;0)\cup\left[\tfrac13;+\infty\right)$$
6) $$(-\infty;-3]\cup(1;2]$$
7) $$(-\infty;1)\cup\left(\tfrac54;2\right)\cup(3;+\infty)$$
8) $$(-2;-1)\cup\left(-1;\tfrac32\right]$$
