Упр.42.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство:
   1) $$(2x-3)(3x+2)(x-9)\ ?\ 0$$;
   5) $$\frac{5-x}{x-2}\ ?\ 0$$;
   2) $$(6+x)(x+2)(4-x)>0$$;
   6) $$\frac{2x+1{,}6}{2-5x}\ ?\ 0$$;
   3) $$(x+4{,}8)(1-x)(5-x)\ ?\ 0$$;
   7) $$\frac{(x+11)(x+4)}{x-10}\ ?\ 0$$;
   4) $$\frac{x-1{,}2}{x-8{,}4}\ ?\ 0$$;
   8) $$\frac{x-2{,}5}{(x+6)(x-8)}\ ?\ 0$$.

1) $$\left(2x-3\right)\left(3x+2\right)\left(x-9\right)\le 0$$

Нули множителей: $$x=\frac32,\quad x=-\frac23,\quad x=9.$$

Располагаем их на числовой прямой: $$-\frac23,\ \frac32,\ 9.$$

Знак произведения меняется при переходе через каждый из этих корней. С учётом знака при больших $$x$$ получаем:

$$x\in\left(-\infty;-\frac23\right]\cup\left[\frac32;9\right].$$

2) $$\left(6+x\right)\left(x+2\right)\left(4-x\right)>0$$

Преобразуем:

$$-\left(x-4\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)>0,$$

откуда

$$\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x-4\right)<0.$$

Нули: $$x=-6,\,-2,\,4.$$

Тогда

$$x\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left(-2;4\right).$$

3) $$\left(x+4{,}8\right)\left(1-x\right)\left(5-x\right)\le 0$$

Преобразуем:

$$\left(x+4{,}8\right)\left(-\left(x-1\right)\right)\left(-\left(x-5\right)\right)\le 0,$$

то есть

$$\left(x+4{,}8\right)\left(x-1\right)\left(x-5\right)\le 0.$$

Нули: $$x=-4{,}8,\ 1,\ 5.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\infty;-4{,}8\right]\cup\left[1;5\right].$$

4) $$\frac{x-1{,}2}{x-8{,}4}\ge 0$$

ОДЗ: $$x\ne 8{,}4.$$

Критические точки: $$x=1{,}2,\ 8{,}4.$$

Знак дроби неотрицателен на промежутках

$$x\in\left(-\infty;1{,}2\right]\cup\left(8{,}4;+\infty\right).$$

5) $$\frac{5-x}{x-2}\ge 0$$

Преобразуем числитель:

$$\frac{-(x-5)}{x-2}\ge 0,$$

откуда

$$\frac{x-5}{x-2}\le 0.$$

ОДЗ: $$x\ne 2.$$

Критические точки: $$x=2,\ 5.$$

Тогда

$$x\in(2;5].$$

6) $$\frac{2x+1{,}6}{2-5x}\le 0$$

Преобразуем:

$$\frac{2\left(x+0{,}8\right)}{-5\left(x-0{,}4\right)}\le 0,$$

то есть

$$\left(x+0{,}8\right)\left(x-0{,}4\right)\ge 0.$$

ОДЗ: $$x\ne 0{,}4.$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\infty;-0{,}8\right]\cup\left(0{,}4;+\infty\right).$$

7) $$\frac{\left(x+11\right)\left(x+4\right)}{x-10}\ge 0$$

ОДЗ: $$x\ne 10.$$

Критические точки: $$x=-11,\ -4,\ 10.$$

По знакам получаем:

$$x\in\left[-11;-4\right]\cup\left(10;+\infty\right).$$

8) $$\frac{x-2{,}5}{\left(x+6\right)\left(x-8\right)}\le 0$$

ОДЗ: $$x\ne -6,\ x\ne 8.$$

Критические точки: $$x=-6,\ 2{,}5,\ 8.$$

Тогда

$$x\in\left(-\infty;-6\right)\cup\left[2{,}5;8\right).$$

Ответ

1) $$\left(-\infty;-\frac23\right]\cup\left[\frac32;9\right]$$; 2) $$\left(-\infty;-6\right)\cup\left(-2;4\right)$$; 3) $$\left(-\infty;-4{,}8\right]\cup\left[1;5\right]$$; 4) $$\left(-\infty;1{,}2\right]\cup\left(8{,}4;+\infty\right)$$; 5) $$\left(2;5\right]$$; 6) $$\left(-\infty;-0{,}8\right]\cup\left(0{,}4;+\infty\right)$$; 7) $$\left[-11;-4\right]\cup\left(10;+\infty\right)$$; 8) $$\left(-\infty;-6\right)\cup\left[2{,}5;8\right).$$