Упр.42.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) если каждая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то данная функция обратима;
2) если функция является нечётной, то она обратима;
3) если функция является чётной, то она обратима;
4) если обратимая функция является нечётной, то обратная к ней функция также нечётная;
5) функции y=x^3 и y=x^(1/3) взаимно обратные;
б) функции y=x^4 и y=x^(1/4) взаимно обратные?

1. Если каждая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то каждому значению $$y$$ соответствует не более одного значения $$x$$. Значит, обратная функция существует.

   Ответ: да.

2. Нечётность функции не означает её обратимость. Например, функция $$y=4x-\frac13x^3$$ нечётная, но не обратимая, так как принимает одно и то же значение при разных значениях аргумента:
   $$y(0)=0,$$
   $$y(2\sqrt3)=4\cdot 2\sqrt3-\frac13(2\sqrt3)^3=8\sqrt3-\frac13\cdot 8\sqrt3=0.$$
   Следовательно, утверждение неверно.

   Ответ: нет.

3. Чётная функция тоже не обязана быть обратимой, так как для неё
   $$f(-x)=f(x).$$
   Значит, одному значению функции соответствуют, вообще говоря, два различных значения аргумента.

   Ответ: нет.

4. Пусть $$f$$ — нечётная обратимая функция, а $$g$$ — обратная к ней. Тогда
   $$f(-x)=-f(x).$$
   Если $$f(x_0)=y_0,$$ то $$g(y_0)=x_0.$$ Поскольку $$f(-x_0)=-y_0,$$ получаем
   $$g(-y_0)=g(f(-x_0))=-x_0=-g(y_0).$$
   Значит, $$g$$ тоже нечётная.

   Ответ: да.

5. Для функций $$y=x^3$$ и $$y=\sqrt[3]{x}$$ имеем:
   $$y=x^3 \iff x=\sqrt[3]{y},$$
   $$y=\sqrt[3]{x} \iff x=y^3.$$
   Следовательно, эти функции взаимно обратные.

   Ответ: да.

6. Для функции $$y=x^4$$ обратная зависимость имеет вид $$x=\sqrt[4]{y}$$, но функция $$y=x^4$$ не является взаимно однозначной на всей области определения, так как
   $$(-x)^4=x^4.$$
   Кроме того, функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ определена только при $$x\ge 0$$. Поэтому на всей числовой прямой эти функции не являются взаимно обратными.

   Ответ: нет.