Упр.42.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Верно ли утверждение:
1) если каждая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то данная функция обратима;
2) если функция является нечётной, то она обратима;
3) если функция является чётной, то она обратима;
4) если обратимая функция является нечётной, то обратная к ней функция также нечётная;
5) функции $$y=x^3$$ и $$y=x^{\frac{1}{3}}$$ взаимно обратные;
б) функции $$y=x^4$$ и $$y=x^{\frac{1}{4}}$$ взаимно обратные?
1) Да. Если любая прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает график функции не более чем в одной точке, то каждому значению $$y$$ соответствует не более одного значения $$x$$. Значит, обратная функция существует.
2) Нет. Нечётность сама по себе не гарантирует обратимость: например, функция $$y=4x-\frac13x^3$$ нечётная, но не является взаимно однозначной, так как, например, $$f(0)=0$$ и $$f(2\sqrt3)=4\cdot2\sqrt3-\frac13(2\sqrt3)^3=0$$.
3) Нет. Чётная функция обычно не является обратимой, так как для разных аргументов $$x$$ и $$-x$$ значения совпадают: $$f(-x)=f(x)$$.
4) Да. Если функция $$f$$ нечётная и обратимая, то для обратной функции $$g$$ выполняется:
$$f(-x)=-f(x), \qquad g(f(x))=x.$$
Тогда
$$g(-y)=g(-f(x))=g(f(-x))=-x=-g(y),$$
значит, $$g$$ тоже нечётная.
5) Да. Для функции $$y=x^3$$ обратная находится из равенства $$x=y^3$$, то есть $$y=\sqrt[3]{x}$$. Следовательно, функции $$y=x^3$$ и $$y=\sqrt[3]{x}$$ взаимно обратные.
6) Нет. Функция $$y=x^4$$ не взаимно обратна функции $$y=\sqrt[4]{x}$$, так как $$y=x^4$$ на всей области определения не является взаимно однозначной: $$f(x)=f(-x)$$. Кроме того, обратная к $$y=x^4$$ на множестве $$x\ge 0$$ имеет вид $$y=\sqrt[4]{x}$$, а не на всей числовой прямой.
Ответ: 1) да; 2) нет; 3) нет; 4) да; 5) да; 6) нет.
