Упр.42.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Исследуйте на чётность функцию:
- $$f(x)=7x^6$$;
- $$f(x)=3x^5-2x^7$$;
- $$f(x)=\frac{x^2+6}{x^2-5}$$;
- $$f(x)=\sqrt{9-x^2}$$;
- $$f(x)=x^2-x+1$$;
- $$f(x)=\frac{1}{x^3-x}$$;
- $$f(x)=(x-2)^4-(x+2)^4$$;
- $$f(x)=\frac{x^2+3x}{2x+6}$$;
- $$f(x)=-x^3|x|$$;
- $$f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^3-4x}$$.
1) $$f(x)=7x^6$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=7(-x)^6=7x^6=f(x).$$
Функция чётная.
2) $$f(x)=3x^5-2x^7$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=3(-x)^5-2(-x)^7=-3x^5+2x^7=-f(x).$$
Функция нечётная.
3) $$f(x)=\frac{x^2+6}{x^2-5}$$
Область определения:
$$x^2-5\ne 0,\quad x\ne \pm\sqrt5,$$
$$D(f)=(-\infty;-\sqrt5)\cup(-\sqrt5;\sqrt5)\cup(\sqrt5;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)^2+6}{(-x)^2-5}=\frac{x^2+6}{x^2-5}=f(x).$$
Функция чётная.
4) $$f(x)=\sqrt{9-x^2}$$
Область определения:
$$9-x^2\ge 0,\quad x^2\le 9,\quad -3\le x\le 3,$$
$$D(f)=[-3;3].$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\sqrt{9-(-x)^2}=\sqrt{9-x^2}=f(x).$$
Функция чётная.
5) $$f(x)=x^2-x+1$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=(-x)^2-(-x)+1=x^2+x+1.$$
Так как $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x),$$ функция ни чётная, ни нечётная.
6) $$f(x)=\frac{1}{x^3-x}$$
Область определения:
$$x^3-x\ne 0,$$
$$x(x^2-1)\ne 0,\quad x(x-1)(x+1)\ne 0,$$
$$x\ne -1,\;0,\;1,$$
$$D(f)=(-\infty;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{1}{(-x)^3-(-x)}=\frac{1}{-x^3+x}=-\frac{1}{x^3-x}=-f(x).$$
Функция нечётная.
7) $$f(x)=(x-2)^4-(x+2)^4$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=(-x-2)^4-(-x+2)^4=(x+2)^4-(x-2)^4=-f(x).$$
Функция нечётная.
8) $$f(x)=\frac{x^2+3x}{2x+6}$$
Область определения:
$$2x+6\ne 0,\quad x\ne -3,$$
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty).$$
Область определения не симметрична относительно нуля, значит функция ни чётная, ни нечётная.
9) $$f(x)=-x^3|x|$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=-(-x)^3|-x|=x^3|x|=-f(x).$$
Функция нечётная.
10) $$f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^3-4x}$$
Область определения:
$$x^3-4x\ne 0,$$
$$x(x^2-4)\ne 0,\quad x(x-2)(x+2)\ne 0,$$
$$x\ne -2,\;0,\;2,$$
$$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$
Область определения симметрична, проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)^3+2(-x)^2}{(-x)^3-4(-x)}=\frac{-x^3+2x^2}{-x^3+4x}=\frac{x^3-2x^2}{x^3-4x}.$$
Так как $$f(-x)\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x),$$ функция ни чётная, ни нечётная.
Ответ
1) чётная; 2) нечётная; 3) чётная; 4) чётная; 5) ни чётная, ни нечётная; 6) нечётная; 7) нечётная; 8) ни чётная, ни нечётная; 9) нечётная; 10) ни чётная, ни нечётная.
