Упр.41.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1) f(x)=(x-3)/(x-1); 3) f(x)=(1+x^2)/(1-x)^2; 5) f(x)=3x/(x^2-9);
2) f(x)=1/(x^2-2x); 4) f(x)=1/(x^2+1); 6) f(x)=2x/(x+1)^2.

1. $$f(x)=\frac{x-3}{x-1}$$

   $$x-1\ne 0,\quad x\ne 1$$

   $$\frac{x-3}{x-1}=1-\frac{2}{x-1}$$

   Значит, график — гипербола с асимптотами $$x=1$$ и $$y=1$$. Нуль функции:

   $$x-3=0,\quad x=3$$

   Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$\left(3,0\right)$$. При $$x=0$$ получаем $$f(0)=3$$, значит, точка $$\left(0,3\right)$$.

2. $$f(x)=\frac{1}{x^2-2x}=\frac{1}{x(x-2)}$$

   $$x(x-2)\ne 0,\quad x\ne 0,\; x\ne 2$$

   Асимптоты: $$x=0$$ и $$x=2$$, а также $$y=0$$.

   Функция не имеет нулей, так как числитель не равен нулю. Производная:

   $$f'(x)=\left(x^2-2x\right)^{-1}{}’=-\frac{2x-2}{(x^2-2x)^2}=\frac{2-2x}{(x^2-2x)^2}$$

   Так как знаменатель положителен, знак производной определяется числителем. Поэтому функция возрастает при $$x<1$$ и убывает при $$x>1$$ с учетом области определения:

   $$(-\infty,0)\cup(0,1]$$ — возрастает, $$[1,2)\cup(2,+\infty)$$ — убывает.

   В точке $$x=1$$ достигается максимум:

   $$f(1)=\frac{1}{1-2}=-1$$

3. $$f(x)=\frac{1+x^2}{1-x^2}$$

   $$1-x^2\ne 0,\quad x\ne \pm 1$$

   Функция четная, так как

   $$f(-x)=\frac{1+(-x)^2}{1-(-x)^2}=\frac{1+x^2}{1-x^2}=f(x)$$

   Асимптоты: $$x=\pm 1$$ и $$y=-1$$, так как

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{1+x^2}{1-x^2}=-1$$

   Производная:

   $$f'(x)=\frac{(1+x^2)'(1-x^2)-(1+x^2)(1-x^2)’}{(1-x^2)^2}=\frac{4x}{(1-x^2)^2}$$

   Следовательно, функция убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x>0$$ с учетом разрывов:

   $$(-\infty,-1]\cup[-1,0]$$ — убывает, $$[0,1)\cup(1,+\infty)$$ — возрастает.

   Минимум в точке $$x=0$$:

   $$f(0)=1$$

4. $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$

   $$x^2+1\ne 0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}$$, значит, область определения — все действительные числа.

   Функция четная:

   $$f(-x)=\frac{1}{(-x)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}=f(x)$$

   Асимптота: $$y=0$$, так как

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+1}=0$$

   Производная:

   $$f'(x)=\left(x^2+1\right)^{-1}{}’=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$$

   Значит, функция возрастает при $$x<0$$ и убывает при $$x>0$$:

   $$(-\infty,0]$$ — возрастает, $$[0,+\infty)$$ — убывает.

   Максимум в точке $$x=0$$:

   $$f(0)=1$$

5. $$f(x)=\frac{3x}{x^2-9}$$

   $$x^2-9\ne 0,\quad x\ne \pm 3$$

   Функция нечётная:

   $$f(-x)=\frac{3(-x)}{(-x)^2-9}=-\frac{3x}{x^2-9}=-f(x)$$

   Асимптоты: $$x=\pm 3$$ и $$y=0$$, так как

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{3x}{x^2-9}=0$$

   Нуль функции:

   $$3x=0,\quad x=0$$

   Производная:

   $$f'(x)=\frac{3(x^2-9)-3x\cdot 2x}{(x^2-9)^2}=\frac{-3x^2-27}{(x^2-9)^2}<0$$

   Следовательно, функция убывает на каждом промежутке области определения:

   $$(-\infty,-3)\cup(-3,3)\cup(3,+\infty)$$

6. $$f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$$

   $$x+1\ne 0,\quad x\ne -1$$

   Асимптоты: $$x=-1$$ и $$y=0$$, так как

   $$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{(x+1)^2}=0$$

   Нуль функции:

   $$2x=0,\quad x=0$$

   Производная:

   $$f'(x)=\frac{(2x)'(x+1)^2-2x\cdot((x+1)^2)’}{(x+1)^4}=\frac{2(1-x)}{(x+1)^3}$$

   Знак производной меняется в точках $$x=-1$$ и $$x=1$$. Поэтому функция возрастает на $$(-1,1]$$ и убывает на $$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$$.

   Максимум в точке $$x=1$$:

   $$f(1)=\frac{2\cdot 1}{(1+1)^2}=\frac{1}{2}$$

Ответ

Для всех шести случаев графики строятся по найденным асимптотам, нулям, точкам экстремума и промежуткам монотонности:

• $$\frac{x-3}{x-1}$$ — асимптоты $$x=1,\ y=1$$, точка $$\left(3,0\right)$$;
• $$\frac{1}{x^2-2x}$$ — асимптоты $$x=0,\ x=2,\ y=0$$, максимум $$\left(1,-1\right)$$;
• $$\frac{1+x^2}{1-x^2}$$ — асимптоты $$x=\pm 1,\ y=-1$$, минимум $$\left(0,1\right)$$;
• $$\frac{1}{x^2+1}$$ — асимптота $$y=0$$, максимум $$\left(0,1\right)$$;
• $$\frac{3x}{x^2-9}$$ — асимптоты $$x=\pm 3,\ y=0$$, точка $$\left(0,0\right)$$;
• $$\frac{2x}{(x+1)^2}$$ — асимптоты $$x=-1,\ y=0$$, максимум $$\left(1,\frac12\right)$$.