Упр.41.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Постройте график функции: 1) $$f(x)=\frac{x-3}{x-1}$$; 3) $$f(x)=\frac{1+x^2}{(1-x)^2}$$; 5) $$f(x)=\frac{3x}{x^2-9}$$; 2) $$f(x)=\frac{1}{x^2-2x}$$; 4) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$; 6) $$f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$$.
1) $$f(x)=\frac{x-3}{x-1}$$
$$f(x)=1-\frac{2}{x-1}$$
Область определения: $$x\ne 1$$. Вертикальная асимптота: $$x=1$$, горизонтальная асимптота: $$y=1$$.
Нуль функции: $$x-3=0,\; x=3$$.
Так как $$f'(x)=\frac{2}{(x-1)^2}>0,$$ функция возрастает на $$(-\infty;1)$$ и $$(1;+\infty).$$
2) $$f(x)=\frac{1}{x^2-2x}=\frac{1}{x(x-2)}$$
Область определения: $$x\ne 0,\; x\ne 2$$. Вертикальные асимптоты: $$x=0$$ и $$x=2$$. Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
$$f'(x)=\frac{2-2x}{(x^2-2x)^2}=\frac{2(1-x)}{(x^2-2x)^2}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0)$$ и $$(0;1],$$ убывает на $$[1;2)$$ и $$(2;+\infty).$$
Максимум: $$x=1,\quad f(1)=\frac{1}{1-2}=-1.$$
3) $$f(x)=\frac{1+x^2}{(1-x)^2}$$
Область определения: $$x\ne 1$$. Вертикальная асимптота: $$x=1$$.
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
$$f'(x)=\frac{4x}{(1-x^2)^2}.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;1)$$ и $$(1;+\infty).$$
Минимум: $$x=0,\quad f(0)=1.$$
4) $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$
Область определения: $$x\in \mathbb{R}$$. Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
$$f'(x)=\frac{-2x}{(x^2+1)^2}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$
Максимум: $$x=0,\quad f(0)=1.$$
5) $$f(x)=\frac{3x}{x^2-9}$$
Область определения: $$x\ne -3,\; x\ne 3$$. Вертикальные асимптоты: $$x=-3$$ и $$x=3$$. Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
$$f'(x)=\frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}<0.$$
Значит, функция убывает на $$(-\infty;-3)$$, $$(-3;3)$$ и $$(3;+\infty).$$
6) $$f(x)=\frac{2x}{(x+1)^2}$$
Область определения: $$x\ne -1$$. Вертикальная асимптота: $$x=-1$$. Горизонтальная асимптота: $$y=0$$.
Нуль функции: $$2x=0,\; x=0.$$
$$f'(x)=\frac{2(1-x)}{(x+1)^3}.$$
Функция возрастает на $$(-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1)$$ и $$[1;+\infty).$$
Максимум: $$x=1,\quad f(1)=\frac{2\cdot 1}{(1+1)^2}=\frac12.$$
