Упр.41.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
Постройте график функции:
- $$f(x)=\frac{4-x}{x+2}$$;
- $$f(x)=\frac{2}{x^2-1}$$;
- $$f(x)=\frac{6x-6}{x^2+3}$$;
- $$f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$$;
- $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$;
- $$f(x)=\frac{-2x}{x^2+1}$$;
- $$f(x)=\frac{2(x-1)}{x^2}$$;
- $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$.
1) $$f(x)=\frac{4-x}{x+2}$$
$$x\ne -2$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{4-x}{x+2}=-1$$
$$4-x=0,\quad x=4$$
$$f'(x)=\frac{(4-x)'(x+2)-(4-x)(x+2)’}{(x+2)^2}=\frac{-1\cdot(x+2)-(4-x)\cdot1}{(x+2)^2}=-\frac{6}{(x+2)^2}<0$$
Функция убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
2) $$f(x)=\frac{2}{x^2-1}$$
$$x\ne \pm1$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^2-1}=0$$
$$f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$
$$-4x\ge 0,\quad x\le 0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0],$$ убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty).$$
$$f(0)=\frac{2}{-1}=-2$$
3) $$f(x)=\frac{6x-6}{x^2+3}$$
$$x\in\mathbb{R}$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{6x-6}{x^2+3}=0$$
$$6x-6=0,\quad x=1$$
$$f'(x)=\frac{6(x^2+3)-(6x-6)\cdot2x}{(x^2+3)^2}=\frac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2}$$
$$-6x^2+12x+18\ge 0 \iff x^2-2x-3\le 0 \iff (x+1)(x-3)\le 0$$
Функция возрастает на $$[-1;3],$$ убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty).$$
$$f(-1)=-3,\quad f(3)=1$$
4) $$f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$$
$$x\ne \pm2$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-9}{x^2-4}=1$$
$$x^2-9=0,\quad x=\pm3$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2-9)\cdot2x}{(x^2-4)^2}=\frac{10x}{(x^2-4)^2}$$
Функция возрастает на $$[0;2)\cup(2;+\infty),$$ убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0].$$
$$f(0)=\frac{9}{4}$$
5) $$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$
$$x\ne \pm2$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{4-x^2}=0$$
$$x=0$$
$$f'(x)=\frac{(4-x^2)-x(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}>0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$
6) $$f(x)=-\frac{2x}{x^2+1}$$
$$x\in\mathbb{R}$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$
$$\lim_{x\to\infty}-\frac{2x}{x^2+1}=0$$
$$x=0$$
$$f'(x)=\frac{2x^2-2}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty),$$ убывает на $$[-1;1].$$
$$f(-1)=1,\quad f(1)=-1$$
7) $$f(x)=\frac{2(x-1)}{x^2}$$
$$x\ne 0$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2(x-1)}{x^2}=0$$
$$x=1$$
$$f'(x)=2\cdot\frac{x^2-2x(x-1)}{x^4}=-\frac{2(x^2-2x)}{x^4}$$
$$x^2-2x\le 0,\quad x(x-2)\le 0,\quad 0\le x\le 2$$
Функция возрастает на $$[0;2],$$ убывает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty).$$
$$f(2)=\frac{1}{2}$$
8) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$
$$x\ne \pm2$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x).$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-4}=1$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot2x}{(x^2-4)^2}=-\frac{16x}{(x^2-4)^2}$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0],$$ убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty).$$
$$f(0)=-1$$
