Упр.41.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=(4-x)/(x+2); 5) f(x)=x/(4-x^2);
2) f(x)=2/(x^2-1); 6) f(x)=-2x/(x^2+1);
3) f(x)=(6x-6)/(x^2+3); 7) f(x)=2(x-1)/x^2;
4) f(x)=(x^2-9)/(x^2-4); 8) f(x)=(x^2+4)/(x^2-4).
$$f(x)=\frac{4-x}{x+2}$$
$$x\ne -2$$
$$\lim_{x\to\infty}\frac{4-x}{x+2}=-1$$
$$4-x=0,\quad x=4$$
$$f'(x)=\frac{(4-x)'(x+2)-(4-x)(x+2)’}{(x+2)^2}=-\frac{6}{(x+2)^2}<0$$
Функция убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$.
$$f(x)=\frac{2}{x^2-1}$$
$$x^2-1\ne 0,\quad x\ne \pm 1$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^2-1}=0$$
$$f'(x)=\frac{-4x}{(x^2-1)^2}$$
$$-4x\ge 0,\quad x\le 0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1)\cup(-1;0]$$, убывает на $$[0;1)\cup(1;+\infty)$$.
$$f(0)=\frac{2}{-1}=-2$$
$$f(x)=\frac{6x-6}{x^2+3}$$
$$x^2+3\ne 0,\quad x\in \mathbb{R}$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{6x-6}{x^2+3}=0$$
$$6x-6=0,\quad x=1$$
$$f'(x)=\frac{6(x^2+3)-(6x-6)\cdot 2x}{(x^2+3)^2}=\frac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2}$$
$$-6x^2+12x+18\ge 0$$
$$x^2-2x-3\le 0$$
$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$$
Функция возрастает на $$[-1;3]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$.
$$f(-1)=\frac{-12}{4}=-3,\quad f(3)=\frac{12}{12}=1$$
$$f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$$
$$x^2-4\ne 0,\quad x\ne \pm 2$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-9}{x^2-4}=1$$
$$x^2-9=0,\quad x=\pm 3$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2-9)\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\frac{10x}{(x^2-4)^2}$$
$$10x\ge 0,\quad x\ge 0$$
Функция возрастает на $$[0;2)\cup(2;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$.
$$f(0)=\frac{-9}{-4}=\frac{9}{4}$$
$$f(x)=\frac{x}{4-x^2}$$
$$4-x^2\ne 0,\quad x\ne \pm 2$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x}{4-x^2}=0$$
$$x=0$$
$$f'(x)=\frac{(4-x^2)-x(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{x^2+4}{(4-x^2)^2}>0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty)$$.
$$f(x)=-\frac{2x}{x^2+1}$$
$$x^2+1\ne 0,\quad x\in \mathbb{R}$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{2x}{x^2+1}\right)=0$$
$$2x=0,\quad x=0$$
$$f'(x)=\frac{2x^2-2}{(x^2+1)^2}=\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}$$
$$x^2-1\ge 0,\quad x\le -1 \text{ или } x\ge 1$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$, убывает на $$[-1;1]$$.
$$f(-1)=1,\quad f(1)=-1$$
$$f(x)=\frac{2(x-1)}{x^2}$$
$$x^2\ne 0,\quad x\ne 0$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{2(x-1)}{x^2}=0$$
$$x-1=0,\quad x=1$$
$$f'(x)=\frac{2\bigl((x-1)’\cdot x^2-(x-1)\cdot (x^2)’\bigr)}{(x^2)^2}=-\frac{2(x^2-2x)}{x^4}$$
$$x^2-2x\le 0,\quad x(x-2)\le 0$$
Функция возрастает на $$[0;2]$$, убывает на $$(-\infty;0)\cup[2;+\infty)$$.
$$f(2)=\frac{2(2-1)}{2^2}=\frac12$$
$$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}$$
$$x^2-4\ne 0,\quad x\ne \pm 2$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+4}{x^2-4}=1$$
$$f'(x)=\frac{2x(x^2-4)-(x^2+4)\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=-\frac{16x}{(x^2-4)^2}$$
$$-16x\ge 0,\quad x\le 0$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$, убывает на $$[0;2)\cup(2;+\infty)$$.
$$f(0)=\frac{4}{-4}=-1$$
Ответ
Графики функций строятся по найденным свойствам: области определения, чётности, асимптотам, нулям, промежуткам возрастания и убывания, а также опорным точкам, указанным выше.
