Упр.41.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Исследуйте данную функцию и постройте её график:
1) $$f(x)=3x-x^3-2$$;
2) $$f(x)=2x^3-3x^2+5$$;
3) $$f(x)=3x-\frac{x^3}{9}$$;
4) $$f(x)=x^3-3x^2+2$$;
5) $$f(x)=\frac{3}{2}x^2-x^3$$;
6) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$;
7) $$f(x)=(x+3)^2(x-1)^2$$.
1) $$f(x)=3x-x^3-2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной, так как $$f(-x)=-3x+x^3-2\ne f(x)$$ и $$f(-x)\ne -f(x).$$
Нули функции найдём из уравнения
$$3x-x^3-2=0$$
$$x^3-3x+2=0$$
$$x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0,$$
откуда $$x=-2,\; x=1.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-2;1)\cup(1;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=3-3x^2=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x).$$
Тогда $$f'(x)>0$$ при $$x\in(-1;1),$$ а $$f'(x)<0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-1)=3\cdot(-1)-(-1)^3-2=-4,$$
$$f(1)=3\cdot1-1^3-2=0.$$
Значит, $$x_{\min}=-1,\; y_{\min}=-4,$$ $$x_{\max}=1,\; y_{\max}=0.$$
2) $$f(x)=2x^3-3x^2+5$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Нули функции:
$$2x^3-3x^2+5=0$$
$$2x^3-3x^2+5=(x+1)(2x^2-5x+5)=0.$$
Так как $$D=25-40=-15<0,$$ квадратный множитель корней не имеет, значит единственный нуль: $$x=-1.$$
Знак функции:
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1),$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-1;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1).$$
Тогда функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[0;1].$$
Экстремумы:
$$f(0)=5,$$
$$f(1)=2-3+5=4.$$
Значит, $$x_{\max}=0,\; y_{\max}=5,$$ $$x_{\min}=1,\; y_{\min}=4.$$
3) $$f(x)=3x-\dfrac{x^3}{9}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция нечётная, так как
$$f(-x)=-3x+\dfrac{x^3}{9}=-f(x).$$
Нули функции:
$$3x-\dfrac{x^3}{9}=0$$
$$27x-x^3=0$$
$$x(27-x^2)=0,$$
откуда $$x=-3\sqrt3,\; x=0,\; x=3\sqrt3.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3\sqrt3)\cup(0;3\sqrt3),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-3\sqrt3;0)\cup(3\sqrt3;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=3-\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{9-x^2}{3}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-3;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(-3)=3\cdot(-3)-\dfrac{(-3)^3}{9}=-6,$$
$$f(3)=3\cdot3-\dfrac{3^3}{9}=6.$$
Значит, $$x_{\min}=-3,\; y_{\min}=-6,$$ $$x_{\max}=3,\; y_{\max}=6.$$
4) $$f(x)=x^3-3x^2+2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Нули функции:
$$x^3-3x^2+2=0$$
$$x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)=0,$$
откуда
$$x=1,\quad x=1-\sqrt3,\quad x=1+\sqrt3.$$
Знак функции:
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;1-\sqrt3)\cup(1;1+\sqrt3),$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(1-\sqrt3;1)\cup(1+\sqrt3;+\infty).$$
Производная:
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2).$$
Тогда функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2].$$
Экстремумы:
$$f(0)=2,$$
$$f(2)=8-12+2=-2.$$
Значит, $$x_{\max}=0,\; y_{\max}=2,$$ $$x_{\min}=2,\; y_{\min}=-2.$$
5) $$f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Нули функции:
$$\dfrac{3}{2}x^2-x^3=0$$
$$x^2\left(\dfrac{3}{2}-x\right)=0,$$
откуда $$x=0,\; x=\dfrac{3}{2}.$$
Знак функции:
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\dfrac{3}{2}\right),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in\left(\dfrac{3}{2};+\infty\right).$$
Производная:
$$f'(x)=3x-3x^2=3x(1-x).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty).$$
Экстремумы:
$$f(0)=0,$$
$$f(1)=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac12.$$
Значит, $$x_{\min}=0,\; y_{\min}=0,$$ $$x_{\max}=1,\; y_{\max}=\dfrac12.$$
6) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция чётная, так как
$$f(-x)=(-x)^4-2(-x)^2+1=x^4-2x^2+1=f(x).$$
Преобразуем:
$$f(x)=x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2.$$
Отсюда $$f(x)\ge 0$$ при всех $$x,$$ и $$f(x)=0$$ при $$x=\pm1.$$
Производная:
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1).$$
Тогда функция возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1].$$
Экстремумы:
$$f(0)=1,$$
$$f(-1)=0,$$
$$f(1)=0.$$
Значит, $$x_{\max}=0,\; y_{\max}=1,$$ $$x_{\min}=-1,\; y_{\min}=0,$$ $$x_{\min}=1,\; y_{\min}=0.$$
7) $$f(x)=(x+3)^2(x-1)^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
Так как
$$f(x)=\bigl((x+3)(x-1)\bigr)^2=(x^2+2x-3)^2,$$
то $$f(x)\ge 0$$ при всех $$x.$$
Нули функции:
$$f(x)=0 \text{ при } x=-3,\; x=1.$$
Производная:
$$f'(x)=2(x+3)(x-1)^2+2(x-1)(x+3)^2$$
$$f'(x)=2(x-1)(x+3)\bigl((x-1)+(x+3)\bigr)$$
$$f'(x)=2(x-1)(x+3)(2x+2)=4(x-1)(x+3)(x+1).$$
Следовательно, функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1].$$
Экстремумы:
$$f(-3)=0,$$
$$f(-1)=16,$$
$$f(1)=0.$$
Значит, $$x_{\max}=-1,\; y_{\max}=16,$$ $$x_{\min}=-3,\; y_{\min}=0,$$ $$x_{\min}=1,\; y_{\min}=0.$$
Ответ: для всех функций найдены область определения, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума; по этим данным строятся графики.
