Упр.41.1 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
1) f(x)=3x-x^3-2;
2) f(x)=2x^3-3x^2+5;
3) f(x)=3x-(x^3)/9;
4) f(x)=x^3-3x^2+2;
5) f(x)=(3/2)x^2-x^3;
6) f(x)=x^4-2x^2+1;
7) f(x)=(x+3)^2 (x-1)^2.
1) $$f(x)=3x-x^3-2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=0 \iff 3x-x^3-2=0 \iff (x+2)(x-1)^2=0$$
$$x=-2,\; x=1$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-2), \qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(-2;1)\cup(1;+\infty)$$
$$f'(x)=3-3x^2=3(1-x^2)=3(1-x)(1+x)$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-1;1), \qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$
Функция возрастает на $$[-1;1]$$ и убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.
$$f(-1)=3\cdot(-1)-(-1)^3-2=-4,\qquad f(1)=3\cdot1-1-2=0$$
Точки экстремума: $$(-1;-4)$$ — минимум, $$ (1;0) $$ — максимум.
2) $$f(x)=2x^3-3x^2+5$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=0 \iff 2x^3-3x^2+5=0 \iff (x+1)(2x^2-5x+5)=0$$
Так как $$D=25-40=-15<0$$, квадратный множитель корней не имеет, значит
$$x=-1$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1), \qquad f(x)>0 \text{ при } x\in(-1;+\infty)$$
$$f'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;1)$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$[0;1]$$.
$$f(0)=5,\qquad f(1)=2-3+5=4$$
Точки экстремума: $$ (0;5) $$ — максимум, $$ (1;4) $$ — минимум.
3) $$f(x)=3x-\dfrac{x^3}{9}$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x)$$.
$$f(x)=0 \iff 3x-\dfrac{x^3}{9}=0 \iff x(27-x^2)=0$$
$$x=-3\sqrt3,\; x=0,\; x=3\sqrt3$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;-3\sqrt3)\cup(0;3\sqrt3), \qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(-3\sqrt3;0)\cup(3\sqrt3;+\infty)$$
$$f'(x)=3-\dfrac{x^2}{3}=\dfrac{9-x^2}{3}$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-3;3), \qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)$$
Функция возрастает на $$[-3;3]$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[3;+\infty)$$.
$$f(-3)=-9+\dfrac{27}{9}=-6,\qquad f(3)=9-\dfrac{27}{9}=6$$
Точки экстремума: $$(-3;-6)$$ — минимум, $$ (3;6) $$ — максимум.
4) $$f(x)=x^3-3x^2+2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=0 \iff x^3-3x^2+2=0 \iff (x-1)(x^2-2x-2)=0$$
$$x=1-\sqrt3,\; x=1,\; x=1+\sqrt3$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(1-\sqrt3;1)\cup(1+\sqrt3;+\infty),$$
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;1-\sqrt3)\cup(1;1+\sqrt3)$$
$$f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(0;2)$$
Функция возрастает на $$(-\infty;0]\cup[2;+\infty)$$ и убывает на $$[0;2]$$.
$$f(0)=2,\qquad f(2)=8-12+2=-2$$
Точки экстремума: $$ (0;2) $$ — максимум, $$ (2;-2) $$ — минимум.
5) $$f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-x^3$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=0 \iff x^2\left(\dfrac{3}{2}-x\right)=0$$
$$x=0,\; x=\dfrac{3}{2}$$
$$f(x)>0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(0;\tfrac32), \qquad f(x)<0 \text{ при } x\in(\tfrac32;+\infty)$$
$$f'(x)=3x-3x^2=3x(1-x)$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(0;1), \qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;0)\cup(1;+\infty)$$
Функция возрастает на $$[0;1]$$ и убывает на $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$.
$$f(0)=0,\qquad f(1)=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac12$$
Точки экстремума: $$ (0;0) $$ — минимум, $$ (1;\tfrac12) $$ — максимум.
6) $$f(x)=x^4-2x^2+1$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция чётная, так как $$f(-x)=f(x)$$.
$$f(x)=0 \iff x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=0$$
$$x=-1,\; x=1$$
$$f(x)\ge 0 \text{ при всех } x,\qquad f(x)=0 \text{ при } x=\pm1$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
$$f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-1)\cup(0;1), \qquad f'(x)>0 \text{ при } x\in(-1;0)\cup(1;+\infty)$$
Функция убывает на $$(-\infty;-1]\cup[0;1]$$ и возрастает на $$[-1;0]\cup[1;+\infty)$$.
$$f(-1)=0,\qquad f(0)=1,\qquad f(1)=0$$
Точки экстремума: $$(-1;0)$$ и $$(1;0)$$ — минимумы, $$(0;1)$$ — максимум.
7) $$f(x)=(x+3)^2(x-1)^2$$
$$D(f)=(-\infty;+\infty)$$
Функция не является ни чётной, ни нечётной.
$$f(x)=0 \iff (x+3)^2(x-1)^2=0$$
$$x=-3,\; x=1$$
$$f(x)\ge 0 \text{ при всех } x,\qquad f(x)=0 \text{ при } x=-3 \text{ и } x=1$$
$$f'(x)=2(x-1)(x+3)(2x+2)=4(x-1)(x+3)(x+1)$$
$$f'(x)>0 \text{ при } x\in(-3;-1)\cup(1;+\infty), \qquad f'(x)<0 \text{ при } x\in(-\infty;-3)\cup(-1;1)$$
Функция возрастает на $$[-3;-1]\cup[1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\infty;-3]\cup[-1;1]$$.
$$f(-3)=0,\qquad f(-1)=16,\qquad f(1)=0$$
Точки экстремума: $$(-3;0)$$ и $$(1;0)$$ — минимумы, $$(-1;16)$$ — максимум.
Ответ
Для всех функций найдены область определения, чётность, нули, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, а также точки экстремума; графики строятся по этим данным.
