Упр.40.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=2sin(2x)+cos(4x), [0; ?/3];
2) f(x)=v3sin(2x)+cos(2x)-5, [0; ?/3];
3) f(x)=2sin(x)+sin(2x), [0; 3?/2].

Подробный ответ

$$f(x)=2\sin 2x+\cos 4x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=4\cos 2x-4\sin 4x.$$
Используем формулу $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:
$$f'(x)=4\cos 2x-8\sin 2x\cos 2x=4\cos 2x\,(1-2\sin 2x).$$
Критические точки:
$$4\cos 2x\,(1-2\sin 2x)=0.$$
1) $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$
На отрезке подходит $$x=\frac{\pi}{4}.$$
2) $$1-2\sin 2x=0 \Rightarrow \sin 2x=\frac12.$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$
откуда на отрезке получаем $$x=\frac{\pi}{12}$$ и $$x=\frac{5\pi}{12}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(0)=2\sin 0+\cos 0=1,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=2\sin\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{3}=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\sin\frac{\pi}{2}+\cos\pi=2\cdot 1-1=1,$$
$$f\!\left(\frac{5\pi}{12}\right)=2\sin\frac{5\pi}{6}+\cos\frac{5\pi}{3}=2\cdot\frac12+\frac12=\frac32,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}=\sqrt3-\frac12.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac32,$$ наименьшее — $$1.$$
$$f(x)=\sqrt3\sin 2x+\cos 2x-5,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\sqrt3\cos 2x-2\sin 2x=2(\sqrt3\cos 2x-\sin 2x).$$
Критическая точка:
$$\sqrt3\cos 2x-\sin 2x=0 \Rightarrow \tan 2x=\sqrt3.$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}.$$
На отрезке подходит $$x=\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции:
$$f(0)=\sqrt3\sin 0+\cos 0-5=-4,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}-5=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac12-5=-3,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3\sin\frac{2\pi}{3}+\cos\frac{2\pi}{3}-5=\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac12-5=-4.$$
Значит, наибольшее значение равно $$-3,$$ наименьшее — $$-4.$$
$$f(x)=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x.$$
Решим уравнение $$f'(x)=0$$:
$$2\cos x+2\cos 2x=0,$$
$$2\cos x+2(2\cos^2 x-1)=0,$$
$$4\cos^2 x+2\cos x-2=0.$$
Положим $$y=\cos x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0,$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$
Следовательно,
$$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi,$$
$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(0)=0,$$
$$f\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt3+\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2},$$
$$f(\pi)=0,$$
$$f\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=-2.$$
Значит, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt3}{2},$$ наименьшее — $$-2.$$