Упр.40.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Представьте число $$12$$ в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число было наибольшим.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые неотрицательные числа. Тогда

$$x+y=12, \qquad y=12-x.$$

Обозначим искомое произведение через $$p$$:

$$p=x^2\cdot 2y=x^2\cdot 2(12-x)=24x^2-2x^3.$$

Найдём производную:

$$p'(x)=48x-6x^2=6x(8-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=8$$. На отрезке $$0\le x\le 12$$ функция $$p(x)$$ возрастает при $$0<x<8$$ и убывает при $$8<x<12$$, значит, наибольшее значение достигается при $$x=8$$.

Тогда

$$y=12-8=4.$$

Следовательно, число $$12$$ нужно представить в виде суммы $$8+4$$.

Ответ: $$12=8+4$$.