Упр.40.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.8. Представьте число 12 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение квадрата одного из этих чисел на удвоенное второе число было наибольшим.

Подробный ответ

Пусть одно из чисел равно $$x$$, тогда второе число равно $$12-x$$, где $$0 \le x \le 12$$.

Составим функцию произведения квадрата одного числа на удвоенное второе число:

$$p(x)=x^2\cdot 2(12-x)=24x^2-2x^3.$$

Найдём производную:

$$p'(x)=48x-6x^2=6x(8-x).$$

Исследуем знак производной на отрезке $$[0;12]$$. Функция возрастает при $$0 \le x \le 8$$ и убывает при $$8 \le x \le 12$$, значит, наибольшее значение достигается при

$$x=8.$$

Тогда второе число:

$$12-8=4.$$

Следовательно, искомое разложение числа $$12$$ на сумму двух неотрицательных чисел:

$$12=8+4.$$