Упр.40.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.7. Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые неотрицательные числа, тогда

$$x+y=8,\qquad y=8-x.$$

Тогда произведение куба одного числа на второе равно

$$p(x)=x^3y=x^3(8-x)=8x^3-x^4,$$

где $$0\le x\le 8.$$

Найдём производную:

$$p'(x)=24x^2-4x^3=4x^2(6-x).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=6.$$

На промежутке $$0\le x\le 8$$ функция возрастает при $$0<x<6$$ и убывает при $$6<x<8,$$ значит, наибольшее значение достигается при $$x=6.$$

Тогда

$$y=8-6=2.$$

Следовательно, число $$8$$ нужно представить в виде суммы $$6$$ и $$2.$$

Ответ

$$8=6+2.$$