Упр.40.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Представьте число 8 в виде суммы двух неотрицательных чисел так, чтобы произведение куба одного из этих чисел на второе число было наибольшим.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — искомые неотрицательные числа, тогда

$$x+y=8,\qquad y=8-x.$$

Рассмотрим произведение куба одного из чисел на второе:

$$P(x)=x^3\cdot y=x^3(8-x)=8x^3-x^4,$$

где $$0\le x\le 8.$$

Найдём производную:

$$P'(x)=24x^2-4x^3=4x^2(6-x).$$

Критические точки на отрезке $$[0;8]$$: $$x=0$$ и $$x=6.$$

На промежутке $$0<x<6$$ имеем $$P'(x)>0,$$ значит, функция возрастает, а на $$6<x<8$$ — убывает. Следовательно, наибольшее значение достигается при $$x=6.$$ Тогда

$$y=8-6=2.$$

Ответ: $$8=6+2.$$