Упр.40.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=v3sin(x)+cos(x), [0; ?];
2) f(x)=2cos(4x+?/6), [-?/12; ?/3].

Подробный ответ

1) $$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\cos x,\quad [0;\pi]$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt{3}\cos x-\sin x.$$

Критические точки:

$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0$$
$$\sqrt{3}=\tg x$$
$$x=\arctg \sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ подходит точка $$x=\frac{\pi}{3}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$f(0)=\sqrt{3}\sin 0+\cos 0=1,$$

$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\sin \frac{\pi}{3}+\cos \frac{\pi}{3} =\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2} =\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2,$$

$$f(\pi)=\sqrt{3}\sin \pi+\cos \pi=-1.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$2,$$ наименьшее — $$-1.$$

2) $$f(x)=2\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right),\quad \left[-\frac{\pi}{12};\frac{\pi}{3}\right]$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2\cdot \left(\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)\right)’=-8\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Критические точки:

$$\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)=0$$
$$4x+\frac{\pi}{6}=\pi n$$
$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}.$$

На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{12};\frac{\pi}{3}\right]$$ получаем точки $$x=-\frac{\pi}{24}$$ и $$x=\frac{5\pi}{24}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f\left(-\frac{\pi}{12}\right)=2\cos\left(4\cdot \left(-\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right) =2\cos\left(-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right) =2\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3},$$

$$f\left(-\frac{\pi}{24}\right)=2\cos\left(4\cdot \left(-\frac{\pi}{24}\right)+\frac{\pi}{6}\right) =2\cos 0=2,$$

$$f\left(\frac{5\pi}{24}\right)=2\cos\left(4\cdot \frac{5\pi}{24}+\frac{\pi}{6}\right) =2\cos \pi=-2,$$

$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(4\cdot \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right) =2\cos\frac{3\pi}{2}=0.$$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $$2,$$ наименьшее — $$-2.$$