Упр.40.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном промежутке:
1) $$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\cos x,\quad [0;\,\pi]$$;
2) $$f(x)=2\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right),\quad \left[-\frac{\pi}{12};\,\frac{\pi}{3}\right]$$.
1) Рассмотрим функцию $$f(x)=\sqrt{3}\sin x+\cos x$$ на отрезке $$[0;\pi].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\sqrt{3}\cos x-\sin x.$$
Критические точки:
$$\sqrt{3}\cos x-\sin x=0,$$
$$\sqrt{3}-\tg x=0,$$
$$\tg x=\sqrt{3}.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ подходит только точка $$x=\frac{\pi}{3}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=\sqrt{3}\sin 0+\cos 0=1,$$
$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\sin\frac{\pi}{3}+\cos\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac12=2,$$
$$f(\pi)=\sqrt{3}\sin\pi+\cos\pi=-1.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$2,$$ наименьшее — $$-1.$$
2) Рассмотрим функцию $$f(x)=2\cos\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{12};\frac{\pi}{3}\right].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cdot\left(-\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)\right)\cdot 4=-8\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right).$$
Критические точки:
$$\sin\left(4x+\frac{\pi}{6}\right)=0,$$
$$4x+\frac{\pi}{6}=\pi n,$$
$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}.$$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{12};\frac{\pi}{3}\right]$$ лежат точки $$x=-\frac{\pi}{24}$$ и $$x=\frac{5\pi}{24}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f\left(-\frac{\pi}{12}\right)=2\cos\left(4\cdot\left(-\frac{\pi}{12}\right)+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos 0=2,$$
$$f\left(-\frac{\pi}{24}\right)=2\cos\left(4\cdot\left(-\frac{\pi}{24}\right)+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}=\sqrt{3},$$
$$f\left(\frac{5\pi}{24}\right)=2\cos\left(4\cdot\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\pi=-2,$$
$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\cos\left(4\cdot\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{3\pi}{2}=0.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$2,$$ наименьшее — $$-2.$$
Ответ: 1) $$2; -1$$ 2) $$2; -2$$.
