Упр.40.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном промежутке:
   
   1) $$f(x)=\sin(x)-\cos(x),\ [0;\pi]$$;
   
   2) $$f(x)=\sin\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\ \left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$;
   
   3) $$f(x)=x\sqrt{3}-\cos(2x),\ \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$.

1) $$f(x)=\sin x-\cos x,\quad x\in[0;\pi].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\cos x+\sin x.$$

Критическая точка:

$$\cos x+\sin x=0 \;\Rightarrow\; \tg x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем $$x=\frac{3\pi}{4}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$f(0)=\sin 0-\cos 0=-1,$$

$$f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\frac{3\pi}{4}-\cos\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2,$$

$$f(\pi)=\sin\pi-\cos\pi=1.$$

Следовательно, наибольшее значение равно $$\sqrt2,$$ наименьшее — $$-1.$$

2) $$f(x)=\sin\!\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{6}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=4\cos\!\left(4x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Критические точки:

$$\cos\!\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

$$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$4x=\frac{5\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi n}{4}.$$

На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$ подходит $$x=\frac{\pi}{24}.$$

Вычислим значения функции:

$$f(0)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2},$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{24}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Значит, наибольшее значение равно $$\frac{\sqrt3}{2},$$ наименьшее — $$-\frac{\sqrt3}{2}.$$

3) $$f(x)=x\sqrt3-\cos 2x,\quad x\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$

Найдём производную:

$$f'(x)=\sqrt3+2\sin 2x.$$

Критические точки:

$$\sqrt3+2\sin 2x=0,$$

$$\sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

Отсюда на отрезке получаем точки:

$$x=-\frac{\pi}{3},\quad x=-\frac{\pi}{6}.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:

$$f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{2}-\cos(-\pi)= -\frac{\pi\sqrt3}{2}+1,$$

$$f\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{3}-\cos\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)= -\frac{\pi\sqrt3}{3}+\frac12,$$

$$f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{6}-\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)= -\frac{\pi\sqrt3}{6}-\frac12,$$

$$f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi\sqrt3}{2}-\cos\pi=\frac{\pi\sqrt3}{2}+1.$$

Наибольшее значение:

$$\frac{\pi\sqrt3}{2}+1.$$

Наименьшее значение:

$$-\frac{\pi\sqrt3}{2}+1.$$

Ответ

1) $$\max f=\sqrt2,\ \min f=-1.$$

2) $$\max f=\frac{\sqrt3}{2},\ \min f=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

3) $$\max f=\frac{\pi\sqrt3}{2}+1,\ \min f=1-\frac{\pi\sqrt3}{2}.$$