Упр.40.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=sin(x)-cos(x), [0; ?];
2) f(x)=sin(4x-?/3), [0; ?/6];
3) f(x)=xv3-cos(2x), [-?/2; ?/2].

Подробный ответ

$$f(x)=\sin x-\cos x,\quad [0;\pi]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\cos x+\sin x.$$
Критическая точка:
$$\cos x+\sin x=0 \;\Rightarrow\; \tg x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ подходит точка $$x=\frac{3\pi}{4}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$ f(0)=\sin 0-\cos 0=-1, $$
$$ f\!\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\sin\frac{3\pi}{4}-\cos\frac{3\pi}{4} =\frac{\sqrt2}{2}-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2, $$
$$ f(\pi)=\sin\pi-\cos\pi=1. $$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\sqrt2,$$ наименьшее — $$-1.$$
$$f(x)=\sin\!\left(4x-\frac{\pi}{3}\right),\quad \left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$
Производная:
$$f'(x)=4\cos\!\left(4x-\frac{\pi}{3}\right).$$
Критическая точка:
$$ \cos\!\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=0 \Rightarrow 4x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi n. $$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{6}\right]$$ получаем $$x=\frac{\pi}{24}.$$
Вычислим значения функции:
$$ f(0)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{24}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}\right) =\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac12, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\right) =\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}. $$
Значит, наибольшее значение равно $$\frac{\sqrt3}{2},$$ наименьшее — $$-\frac{\sqrt3}{2}.$$
$$f(x)=x\sqrt3-\cos 2x,\quad \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$
Производная:
$$f'(x)=\sqrt3+2\sin 2x.$$
Критические точки:
$$ \sqrt3+2\sin 2x=0 \Rightarrow \sin 2x=-\frac{\sqrt3}{2}. $$
На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=-\frac{\pi}{3}$$ и $$x=-\frac{\pi}{6}.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$ f\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{2}-\cos(-\pi) =-\frac{\pi\sqrt3}{2}+1, $$
$$ f\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{3}-\cos\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right) =-\frac{\pi\sqrt3}{3}+\frac12, $$
$$ f\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi\sqrt3}{6}-\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right) =-\frac{\pi\sqrt3}{6}-\frac12, $$
$$ f\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi\sqrt3}{2}-\cos\pi =\frac{\pi\sqrt3}{2}+1. $$
Наибольшее значение — $$\frac{\pi\sqrt3}{2}+1,$$ наименьшее — $$-\frac{\pi\sqrt3}{2}+1.$$