Упр.40.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=v(9+8x-x^2), [0; 7]; 3) f(x)=(x-1)^2 (x+5)^2, [-3; 2];
2) f(x)=(4x)/(x^2+1), [-2; 4]; 4) f(x)=-x-9/x, [-6; -1].

Подробный ответ

$$f(x)=\sqrt{9+8x-x^2}, \quad [0;7]$$
Найдём критическую точку:
$$f'(x)=\frac{8-2x}{2\sqrt{9+8x-x^2}}=\frac{4-x}{\sqrt{9+8x-x^2}}$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=4$$
Вычислим значения функции на концах промежутка и в критической точке:
$$f(0)=\sqrt{9}=3$$
$$f(4)=\sqrt{9+32-16}=\sqrt{25}=5$$
$$f(7)=\sqrt{9+56-49}=\sqrt{16}=4$$
Наибольшее значение равно $$5$$, наименьшее — $$3$$.
$$f(x)=\frac{4x}{x^2+1}, \quad [-2;4]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{4(x^2+1)-4x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow 4-4x^2=0 \Rightarrow x=\pm 1$$
Вычислим значения функции в концах промежутка и в критических точках:
$$f(-2)=\frac{-8}{5}$$
$$f(-1)=\frac{-4}{2}=-2$$
$$f(1)=\frac{4}{2}=2$$
$$f(4)=\frac{16}{17}$$
Наибольшее значение равно $$2$$, наименьшее — $$-2$$.
$$f(x)=(x-1)^2(x+5)^2, \quad [-3;2]$$
Так как $$f(x)=\bigl((x-1)(x+5)\bigr)^2$$, то $$f(x)\ge 0$$.
Найдём критические точки:
$$f'(x)=2(x-1)(x+5)\bigl((x+5)+(x-1)\bigr)=4(x-1)(x+5)(x+2)$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow x=-5,\,-2,\,1$$
На отрезке $$[-3;2]$$ лежат точки $$-2$$ и $$1$$. Проверим значения в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-3)=(-4)^2\cdot 2^2=64$$
$$f(-2)=(-3)^2\cdot 3^2=81$$
$$f(1)=0^2\cdot 6^2=0$$
$$f(2)=1^2\cdot 7^2=49$$
Наибольшее значение равно $$81$$, наименьшее — $$0$$.
$$f(x)=-x-\frac{9}{x}, \quad [-6;-1]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-1+\frac{9}{x^2}=\frac{9-x^2}{x^2}$$
$$f'(x)=0 \Rightarrow 9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3$$
На отрезке $$[-6;-1]$$ лежит только точка $$x=-3$$. Вычислим значения функции:
$$f(-6)=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$$
$$f(-3)=3+3=6$$
$$f(-1)=1+9=10$$
Наибольшее значение равно $$10$$, наименьшее — $$6$$.