Упр.40.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f$$ на указанном промежутке:
1) $$f(x)=\sqrt{9+8x-x^2}$$, $$[0;7]$$;
3) $$f(x)=(x-1)^2(x+5)^2$$, $$[-3;2]$$;
2) $$f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$$, $$[-2;4]$$;
4) $$f(x)=-x-\frac{9}{x}$$, $$[-6;-1]$$.
1) $$f(x)=\sqrt{9+8x-x^2},\quad [0;7].$$
Найдём область допустимых значений:
$$9+8x-x^2\ge 0,$$
$$x^2-8x-9\le 0,$$
$$D=64+36=100,$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 10}{2},\quad x_1=-1,\ x_2=9.$$
Значит, $$-1\le x\le 9.$$ На отрезке $$[0;7]$$ функция определена.
Так как корень возрастает, достаточно рассмотреть выражение под корнем. Его вершина при
$$x=\frac{8}{2}=4.$$
Считаем значения в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=\sqrt{9}=3,$$
$$f(4)=\sqrt{9+32-16}=\sqrt{25}=5,$$
$$f(7)=\sqrt{9+56-49}=\sqrt{16}=4.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$5,$$ наименьшее — $$3.$$
2) $$f(x)=\frac{4x}{x^2+1},\quad [-2;4].$$
Область определения: $$x^2+1>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{4(x^2+1)-4x\cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{4-4x^2}{(x^2+1)^2}.$$
Критические точки:
$$4-4x^2=0,\quad x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критических точках:
$$f(-2)=\frac{-8}{5},\quad f(-1)=\frac{-4}{2}=-2,$$
$$f(1)=\frac{4}{2}=2,\quad f(4)=\frac{16}{17}.$$
Значит, наибольшее значение равно $$2,$$ наименьшее — $$-2.$$
3) $$f(x)=(x-1)^2(x+5)^2,\quad [-3;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2(x-1)(x+5)^2+2(x+5)(x-1)^2,$$
$$f'(x)=2(x-1)(x+5)\bigl((x+5)+(x-1)\bigr),$$
$$f'(x)=2(x-1)(x+5)(2x+4).$$
Критические точки:
$$2(x-1)(x+5)(2x+4)=0,$$
$$x=-5,\ -2,\ 1.$$
На отрезке $$[-3;2]$$ подходят точки $$x=-2$$ и $$x=1.$$ Считаем значения функции в концах отрезка и в этих точках:
$$f(-3)=(-4)^2\cdot 2^2=64,$$
$$f(-2)=(-3)^2\cdot 3^2=81,$$
$$f(1)=0^2\cdot 6^2=0,$$
$$f(2)=1^2\cdot 7^2=49.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$81,$$ наименьшее — $$0.$$
4) $$f(x)=-x-\frac{9}{x},\quad [-6;-1].$$
Область определения: $$x\ne 0,$$ на данном отрезке функция определена.
Найдём производную:
$$f'(x)=(-x)’-9\left(\frac{1}{x}\right)’=-1-9\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac{9-x^2}{x^2}.$$
Критические точки:
$$9-x^2=0,\quad x^2=9,\quad x=\pm 3.$$
На отрезке $$[-6;-1]$$ нужно проверить точки $$x=-6,\ -3,\ -1.$$
Вычислим значения:
$$f(-6)=6+\frac{9}{6}=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2},$$
$$f(-3)=3+\frac{9}{3}=6,$$
$$f(-1)=1+9=10.$$
Значит, наибольшее значение равно $$10,$$ наименьшее — $$6.$$
Ответ: 1) $$5;\\ 3.$$ 2) $$2;\\ -2.$$ 3) $$81;\\ 0.$$ 4) $$10;\\ 6.$$
