Упр.40.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f$$ на указанном промежутке: 1) $$f(x)=\sqrt{100-x^2},\ [-6;8]$$; 3) $$f(x)=(x+1)^2(x-2)^2,\ [-2;4]$$; 2) $$f(x)=\sqrt{0{,}5x^2+3x+5},\ [2;4]$$; 4) $$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{2},\ [-4;-1]$$.
1) $$f(x)=\sqrt{100-x^2}, \quad [-6;8].$$
Найдём значения функции в концах промежутка и в критической точке $$x=0$$:
$$f(-6)=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8,$$
$$f(0)=\sqrt{100}=10,$$
$$f(8)=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$10,$$ наименьшее — $$6.$$
2) $$f(x)=\sqrt{0{,}5x^2+3x+5}, \quad [2;4].$$
Найдём значения функции в концах промежутка и в критической точке $$x=-3$$, которая не принадлежит отрезку:
$$f(2)=\sqrt{0{,}5\cdot 2^2+3\cdot 2+5}=\sqrt{2+6+5}=\sqrt{13},$$
$$f(4)=\sqrt{0{,}5\cdot 4^2+3\cdot 4+5}=\sqrt{8+12+5}=\sqrt{25}=5.$$
Значит, наибольшее значение равно $$\sqrt{13},$$ наименьшее — $$5.$$
3) $$f(x)=(x+1)^2(x-2)^2, \quad [-2;4].$$
Рассмотрим значения функции в концах отрезка и в критических точках $$x=-1,\; x=\frac12,\; x=2.$$
$$f(-2)=(-2+1)^2(-2-2)^2=1\cdot 16=16,$$
$$f(-1)=0,$$
$$f\!\left(\frac12\right)=\left(\frac12+1\right)^2\left(\frac12-2\right)^2=\left(\frac32\right)^2\left(-\frac32\right)^2=\frac{81}{16},$$
$$f(4)=(4+1)^2(4-2)^2=25\cdot 4=100.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$100,$$ наименьшее — $$0.$$
4) $$f(x)=\frac{2}{x}+\frac{x}{2}, \quad [-4;-1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac12=\frac{x^2-4}{2x^2}.$$
Критические точки: $$x=\pm 2.$$ На отрезке $$[-4;-1]$$ лежит только $$x=-2.$$
Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(-4)=\frac{2}{-4}+\frac{-4}{2}=-\frac12-2=-\frac52,$$
$$f(-2)=\frac{2}{-2}+\frac{-2}{2}=-1-1=-2,$$
$$f(-1)=\frac{2}{-1}+\frac{-1}{2}=-2-\frac12=-\frac52.$$
Значит, наибольшее значение равно $$-2,$$ наименьшее — $$-\frac52.$$
Ответ: 1) $$10$$ и $$6$$; 2) $$\sqrt{13}$$ и $$5$$; 3) $$100$$ и $$0$$; 4) $$-2$$ и $$-\frac52$$.
