Упр.40.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f$$ на указанном промежутке:
1) $$f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x$$, $$[0;3]$$;
3) $$f(x)=2x^4-8x$$, $$[-2;1]$$;
2) $$f(x)=x-1-x^3-x^2$$, $$[-2;0]$$;
4) $$f(x)=\frac{x^4}{4}-8x^2$$, $$[-1;2]$$.
1) $$f(x)=\frac13x^3-4x,\quad [0;3].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2-4.$$
Критические точки:
$$x^2-4=0,\quad x=\pm2.$$
На отрезке $$[0;3]$$ лежит точка $$x=2$$. Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=0,$$
$$f(2)=\frac13\cdot 2^3-4\cdot 2=\frac83-8=-\frac{16}{3},$$
$$f(3)=\frac13\cdot 3^3-4\cdot 3=9-12=-3.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$0$$, наименьшее — $$-\frac{16}{3}.$$
2) $$f(x)=x-1-x^3-x^2,\quad [-2;0].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-3x^2-2x.$$
Критические точки:
$$1-3x^2-2x=0,$$
$$3x^2+2x-1=0,$$
$$D=2^2+4\cdot 3\cdot 1=16,$$
$$x_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\qquad x_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13.$$
На отрезке $$[-2;0]$$ лежит только точка $$x=-1$$. Вычислим значения функции:
$$f(-2)=-2-1-(-2)^3-(-2)^2=1,$$
$$f(-1)=-1-1-(-1)^3-(-1)^2=-2,$$
$$f(0)=0-1-0^3-0^2=-1.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$1$$, наименьшее — $$-2.$$
3) $$f(x)=2x^4-8x,\quad [-2;1].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=8x^3-8.$$
Критическая точка:
$$8x^3-8=0,$$
$$x^3=1,\quad x=1.$$
Вычислим значения функции:
$$f(-2)=2\cdot (-2)^4-8\cdot (-2)=32+16=48,$$
$$f(1)=2\cdot 1^4-8\cdot 1=2-8=-6.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$48$$, наименьшее — $$-6.$$
4) $$f(x)=\frac{x^4}{4}-8x^2,\quad [-1;2].$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^3-16x.$$
Критические точки:
$$x^3-16x=0,$$
$$x(x^2-16)=0,$$
$$x(x-4)(x+4)=0,$$
$$x=-4,\;0,\;4.$$
На отрезке $$[-1;2]$$ лежит только точка $$x=0$$. Вычислим значения функции:
$$f(-1)=\frac{(-1)^4}{4}-8\cdot (-1)^2=\frac14-8=-\frac{31}{4},$$
$$f(0)=0,$$
$$f(2)=\frac{2^4}{4}-8\cdot 2^2=4-32=-28.$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$0$$, наименьшее — $$-28.$$
Ответ: 1) $$0$$; $$-\frac{16}{3}$$; 2) $$1$$; $$-2$$; 3) $$48$$; $$-6$$; 4) $$0$$; $$-28$$.
