Упр.40.2 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

1) f(x)=(1/3)x^3-4x, [0; 3]; 3) f(x)=2x^4-8x, [-2; 1];
2) f(x)=x-1-x^3-x^2, [-2; 0]; 4) f(x)=(x^4)/4-8x^2, [-1; 2].

Подробный ответ

$$f(x)=\frac13x^3-4x,\quad [0;3]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^2-4$$
Критические точки:
$$x^2-4=0,\quad x=\pm2$$
На отрезке $$[0;3]$$ лежит только точка $$x=2$$. Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:
$$f(0)=\frac13\cdot0^3-4\cdot0=0$$
$$f(2)=\frac13\cdot2^3-4\cdot2=\frac83-8=-\frac{16}{3}$$
$$f(3)=\frac13\cdot3^3-4\cdot3=9-12=-3$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$0$$, а наименьшее — $$-\frac{16}{3}$$.
$$f(x)=x-1-x^3-x^2,\quad [-2;0]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=1-3x^2-2x$$
Критические точки:
$$1-3x^2-2x=0$$
$$3x^2+2x-1=0$$
$$D=2^2-4\cdot3\cdot(-1)=16$$
$$x_1=\frac{-2-4}{6}=-1,\quad x_2=\frac{-2+4}{6}=\frac13$$
На отрезке $$[-2;0]$$ лежит только точка $$x=-1$$. Вычислим значения функции:
$$f(-2)=-2-1-(-2)^3-(-2)^2=1$$
$$f(-1)=-1-1-(-1)^3-(-1)^2=-2$$
$$f(0)=0-1-0^3-0^2=-1$$
Значит, наибольшее значение равно $$1$$, а наименьшее — $$-2$$.
$$f(x)=2x^4-8x,\quad [-2;1]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=8x^3-8$$
Критические точки:
$$8x^3-8=0$$
$$x^3=1,\quad x=1$$
Вычислим значения функции:
$$f(-2)=2\cdot(-2)^4-8\cdot(-2)=32+16=48$$
$$f(1)=2\cdot1^4-8\cdot1=2-8=-6$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$48$$, а наименьшее — $$-6$$.
$$f(x)=\frac{x^4}{4}-8x^2,\quad [-1;2]$$
Найдём производную:
$$f'(x)=x^3-16x$$
Критические точки:
$$x^3-16x=0$$
$$x(x^2-16)=0$$
$$x(x-4)(x+4)=0$$
$$x=0,\,-4,\,4$$
На отрезке $$[-1;2]$$ лежит только точка $$x=0$$. Вычислим значения функции:
$$f(-1)=\frac{(-1)^4}{4}-8\cdot(-1)^2=\frac14-8=-\frac{31}{4}$$
$$f(0)=0$$
$$f(2)=\frac{2^4}{4}-8\cdot2^2=4-32=-28$$
Значит, наибольшее значение равно $$0$$, а наименьшее — $$-28$$.