Упр.40.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.19. Периметр равнобедренного треугольника равен 48 см. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?

Пусть $$a$$ — длина основания, $$b$$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника. Тогда по условию

$$a+2b=48,$$

откуда

$$b=24-\frac{a}{2}.$$

Высота, проведённая к основанию, делит его пополам, поэтому

$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(24-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{576-24a}.$$

Площадь треугольника как функция от $$a$$ равна

$$S(a)=\frac12 ah=\frac12 a\sqrt{576-24a}.$$

Найдём, при каком $$a$$ эта функция принимает наибольшее значение. Рассмотрим квадрат площади:

$$S^2(a)=\frac14 a^2(576-24a).$$

Достаточно максимизировать функцию

$$f(a)=a^2(576-24a), \qquad 0<a<24.$$

Её производная:

$$f'(a)=2a(576-24a)-24a^2=1152a-72a^2=72a(16-a).$$

На промежутке $$0<a<24$$ критическая точка одна: $$a=16$$. При этом производная меняет знак с плюса на минус, значит, площадь максимальна при

$$a=16.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$