Упр.40.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Периметр равнобедренного треугольника равен $$48\ \text{см}$$. Какой должна быть длина основания треугольника, чтобы его площадь принимала наибольшее возможное значение?

Пусть $$a$$ — длина основания, $$b$$ — длина боковой стороны равнобедренного треугольника. Тогда по условию

$$a+2b=48,$$

откуда

$$b=24-\frac{a}{2}.$$

Высота, проведённая к основанию, делит его пополам, поэтому

$$h=\sqrt{b^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(24-\frac{a}{2}\right)^2-\frac{a^2}{4}}=\sqrt{576-24a}.$$

Площадь треугольника равна

$$S(a)=\frac12 ah=\frac12 a\sqrt{576-24a}.$$

Найдём, при каком $$a$$ эта функция принимает наибольшее значение:

$$S'(a)=\frac{576-36a}{2\sqrt{576-24a}}.$$

Так как знаменатель положителен при допустимых значениях $$a$$, максимум площади достигается при

$$576-36a=0,$$

$$a=16.$$

Проверим: при $$a=16$$ имеем $$b=24-8=16$$, то есть треугольник становится равносторонним, а его площадь действительно максимальна.

Ответ: $$16\text{ см}$$.