Упр.40.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. В полукруг радиуса $$6\ \text{см}$$ вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $$AB=x$$ см, тогда в прямоугольном треугольнике $$BAO$$

$$AO=\sqrt{OB^2-AB^2}=\sqrt{6^2-x^2}=\sqrt{36-x^2}.$$

Так как прямоугольник симметричен относительно диаметра полукруга, то

$$AD=2AO=2\sqrt{36-x^2}.$$

Периметр прямоугольника:

$$P(x)=2(AB+AD)=2\bigl(x+2\sqrt{36-x^2}\bigr)=2x+4\sqrt{36-x^2}.$$

Найдём максимум этой функции:

$$P'(x)=2+4\cdot\frac{-x}{\sqrt{36-x^2}}=2-\frac{4x}{\sqrt{36-x^2}}.$$

При максимуме $$P'(x)=0$$, значит

$$2-\frac{4x}{\sqrt{36-x^2}}=0,$$

$$\sqrt{36-x^2}=2x,$$

$$36-x^2=4x^2,$$

$$5x^2=36,$$

$$x=\frac{6}{\sqrt5}=\frac{6\sqrt5}{5}.$$

Тогда

$$AB=\frac{6\sqrt5}{5}\text{ см},$$

$$AD=2\sqrt{36-\left(\frac{6}{\sqrt5}\right)^2}=2\sqrt{\frac{144}{5}}=\frac{24\sqrt5}{5}\text{ см}.$$

Ответ: $$\frac{6\sqrt5}{5}\text{ см},\ \frac{24\sqrt5}{5}\text{ см}.$$