Упр.40.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.15. В полукруг радиуса 20 см вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $$AB=x$$ см. Тогда в прямоугольном треугольнике $$BAO$$

$$AO=\sqrt{OB^2-AB^2}=\sqrt{20^2-x^2}=\sqrt{400-x^2}.$$

По симметрии $$OD=AO=\sqrt{400-x^2},$$ значит

$$AD=AO+OD=2\sqrt{400-x^2}.$$

Площадь прямоугольника

$$S(x)=AB\cdot AD=2x\sqrt{400-x^2}.$$

Найдём максимум функции $$S(x)$$. Для этого рассмотрим производную:

$$ S'(x)=2\sqrt{400-x^2}+2x\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{400-x^2}} =\frac{800-4x^2}{\sqrt{400-x^2}}. $$

Так как знаменатель положителен при $$0<x<20,$$ то максимум достигается при

$$800-4x^2=0,$$

$$x^2=200,$$

$$x=10\sqrt2.$$

Тогда

$$AB=10\sqrt2,$$

$$AD=2\sqrt{400-200}=2\sqrt{200}=20\sqrt2.$$

Ответ

$$10\sqrt2\text{ см};\ 20\sqrt2\text{ см}.$$