Упр.40.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

В полукруг радиуса $$20\ \text{см}$$ вписан прямоугольник наибольшей площади. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть $$AB=x$$ см, тогда $$0<x<20$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BAO$$, где $$O$$ — центр полукруга. Тогда

$$AO=\sqrt{OB^2-AB^2}=\sqrt{20^2-x^2}=\sqrt{400-x^2}.$$

По симметрии $$OD=AO$$, значит

$$AD=AO+OD=2\sqrt{400-x^2}.$$

Площадь прямоугольника

$$S(x)=AB\cdot AD=2x\sqrt{400-x^2}.$$

Найдём максимум функции $$S(x)$$. Достаточно максимизировать её квадрат:

$$S^2(x)=4x^2(400-x^2)=1600x^2-4x^4.$$

Тогда

$$\frac{d}{dx}S^2(x)=3200x-16x^3=16x(200-x^2).$$

При $$x>0$$ максимум достигается, когда

$$200-x^2=0,$$

откуда

$$x=10\sqrt{2}.$$

Тогда

$$AB=10\sqrt{2}\text{ см},$$

$$AD=2\sqrt{400-200}=2\sqrt{200}=20\sqrt{2}\text{ см}.$$

Ответ

$$AB=10\sqrt{2}\text{ см},\quad AD=20\sqrt{2}\text{ см}.$$