Упр.40.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.14. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и острым углом 30° вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. Какими должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

Обозначим одну из сторон прямоугольника через $$MN=x$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$\angle CAB=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ANM$$. Тогда

$$AN=MN\cdot \ctg 60^\circ=\frac{x}{\sqrt{3}},$$

$$AM=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{\frac{x^2}{3}+x^2}=\frac{2x}{\sqrt{3}}.$$

Найдём катет $$AC$$:

$$AC=AB\cdot \sin 30^\circ=16\cdot \frac12=8.$$

Тогда

$$MC=AC-AM=8-\frac{2x}{\sqrt{3}}.$$

Из прямоугольного треугольника $$MCL$$:

$$ML=\frac{MC}{\sin 30^\circ}=\frac{8-\frac{2x}{\sqrt{3}}}{\frac12}=16-\frac{4x}{\sqrt{3}}.$$

Площадь прямоугольника:

$$S(x)=MN\cdot ML=x\left(16-\frac{4x}{\sqrt{3}}\right)=16x-\frac{4x^2}{\sqrt{3}}.$$

Это парабола, ветви направлены вниз, значит максимум площади достигается в вершине:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{16}{2\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}}=2\sqrt{3}.$$

Тогда

$$MN=2\sqrt{3},$$

$$ML=16-\frac{4\cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=16-8=8.$$

Ответ

$$2\sqrt{3}\text{ см},\ 8\text{ см}.$$