Упр.40.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

В треугольник $$ABC$$ вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне $$AC$$, а две другие — на сторонах $$AB$$ и $$BC$$. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если $$AC=12\text{ см}$$, $$BD=10\text{ см}$$, где $$BD$$ — высота треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Пусть $$MN=x$$ см. Тогда высота прямоугольника равна $$x$$, а расстояние от вершины $$B$$ до верхней стороны прямоугольника равно $$10-x$$.

Треугольники $$NBK$$ и $$ABC$$ подобны, так как у них по два равных угла. Поэтому

$$\frac{NK}{AC}=\frac{BD_1}{BD}=\frac{10-x}{10},$$

откуда

$$NK=\frac{12(10-x)}{10}=12-1{,}2x.$$

Тогда площадь прямоугольника

$$S(x)=MN\cdot NK=x(12-1{,}2x)=12x-1{,}2x^2.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит, наибольшее значение площади достигается в вершине:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2\cdot(-1{,}2)}=5.$$

Тогда

$$S_{\max}=S(5)=12\cdot 5-1{,}2\cdot 5^2=60-30=30.$$