Упр.40.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.13. В треугольник ABC вписан прямоугольник так, что две его вершины лежат на стороне AC, а две другие — на сторонах AB и BC. Найдите наибольшее значение площади такого прямоугольника, если AC=12 см, BD=10 см, где BD — высота треугольника ABC.

Подробный ответ

Обозначим высоту прямоугольника через $$x$$ см. Тогда его верхняя сторона находится на расстоянии $$10-x$$ см от вершины $$B$$.

Треугольники, образованные верхней стороной прямоугольника и большим треугольником, подобны, поэтому

$$\frac{NK}{AC}=\frac{BD_1}{BD}=\frac{10-x}{10}.$$

Так как $$AC=12$$ см, получаем

$$NK=12\cdot \frac{10-x}{10}=12-1{,}2x.$$

Тогда площадь прямоугольника равна

$$S(x)=x(12-1{,}2x)=12x-1{,}2x^2.$$

Это квадратичная функция, ветви параболы направлены вниз, значит, наибольшее значение достигается в вершине:

$$x=\frac{-b}{2a}=\frac{-12}{2\cdot(-1{,}2)}=5.$$

Найдём максимальную площадь:

$$S_{\max}=S(5)=12\cdot 5-1{,}2\cdot 5^2=60-30=30.$$