Упр.40.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

1. Представьте число 18 в виде суммы трех неотрицательных чисел так, чтобы два из них относились как 8:3, а сумма кубов этих трёх чисел была наименьшей.

Пусть $$x,$$ $$y$$ и $$z$$ — искомые числа, тогда

$$x+y+z=18.$$

По условию два числа относятся как $$8:3$$, значит

$$\frac{y}{x}=\frac{8}{3}, \qquad y=\frac{8x}{3}.$$

Тогда

$$z=18-x-y=18-x-\frac{8x}{3}=18-\frac{11x}{3}.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$p(x)=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(\frac{8x}{3}\right)^3+\left(18-\frac{11x}{3}\right)^3.$$

Найдём производную:

$$p'(x)=3x^2+\frac{8}{3}\cdot 3\left(\frac{8x}{3}\right)^2-\frac{11}{3}\cdot 3\left(18-\frac{11x}{3}\right)^2,$$

$$p'(x)=3x^2+\frac{512x^2}{9}-3\left(324-132x+\frac{121x^2}{9}\right),$$

$$p'(x)=3x^2+\frac{512x^2}{9}-972+396x-\frac{363x^2}{9}.$$

После упрощения получаем

$$p'(x)=-44(2x^2-33x+81).$$

Найдём промежуток возрастания функции:

$$2x^2-33x+81\le 0.$$

Корни уравнения

$$2x^2-33x+81=0$$

равны

$$x_1=3,\qquad x_2=13{,}5.$$

Значит,

$$3\le x\le 13{,}5.$$

Минимум суммы кубов достигается при наименьшем допустимом значении $$x=3$$.

Тогда

$$y=\frac{8\cdot 3}{3}=8,\qquad z=18-3-8=7.$$

Следовательно, искомое разложение:

$$18=3+8+7.$$

Ответ: $$3,\ 8,\ 7.$$