Упр.40.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Базовый уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Полонский 10 класс, Вентана-Граф: 40.12. Представьте число 18 в виде суммы трех неотрицательных чисел так, чтобы два из них относились как 8:3, а сумма кубов этих трёх чисел была наименьшей.

Пусть $$x$$ и $$y$$ — два числа, относящиеся как $$8:3$$. Тогда

$$\frac{y}{x}=\frac{8}{3}, \quad y=\frac{8x}{3}.$$

Третье число обозначим через $$z$$. По условию

$$x+y+z=18, \quad z=18-x-y=18-x-\frac{8x}{3}=18-\frac{11x}{3}.$$

Рассмотрим сумму кубов:

$$p(x)=x^3+y^3+z^3=x^3+\left(\frac{8x}{3}\right)^3+\left(18-\frac{11x}{3}\right)^3.$$

Найдём производную:

$$p'(x)=3x^2+\frac{8}{3}\cdot 3\left(\frac{8x}{3}\right)^2-\frac{11}{3}\cdot 3\left(18-\frac{11x}{3}\right)^2.$$

После упрощения получаем:

$$p'(x)=-44(2x^2-33x+81).$$

Исследуем знак производной:

$$2x^2-33x+81=0,$$

$$D=33^2-4\cdot 2\cdot 81=1089-648=441,$$

$$x_{1,2}=\frac{33\pm 21}{4}, \quad x_1=3,\quad x_2=13{,}5.$$

Так как $$p'(x)=-44(2x^2-33x+81)$$, то сумма кубов минимальна при $$x=3$$.

Тогда

$$y=\frac{8\cdot 3}{3}=8,\quad z=18-3-8=7.$$

Ответ

$$18=3+8+7.$$